ルジャンドルの多項式

ルジャンドルの多項式

§１　ルジャンドルの多項式とロドリゲスの公式

n−1次以下の全ての多項式Q(x)に関して

となる多項式を求めることにする。

を2n次の多項式F(x)のn次の導関数とすると、

が成り立つ。

すると、問題の条件は

となる。

とし、これを順次部分積分すると

となるが、Q(x)はn−1次の多項式なので、

よって

これを（２）に代入すると、

これは、

のとき満たされる。

したがって、F(x)を

にすればよいことがわかる。

故に、

そして、

a=−1、b=1、すなわち、積分区間が[−1,1]のとき

が得られ、これをロドリゲスの公式という。

（３）式は次のように展開することができる。

たとえば、

である。

§２　ルジャンドルの多項式の性質

ルジャンドルの多項式には次のような性質がある。

（１）　は、nが奇数ならば奇関数、nが偶数ならば偶関数

（２）　

【証明】

右辺の最初の項と最後の項以外は(x−1)(x+1)で割れるので、

ここで、G(x)は多項式である。

この式にx=1、x=−1を代入すると、

（証明終）

【証明】

m≠nのときは、定義より明らか。

次に、m=nのときについて考える。

ここで

であるから、左辺=２である。

また、

であるから、

となる。

のの係数は、のの係数は

故に、

とおけば、Q(x)はn−1次以下の多項式。

よって、両辺にを掛けて積分すると、

（証明終）

【証明】

ロドリゲスの公式より

ライプニッツの定理より

したがって、

（５）　は次の微分方程式の解である。

【証明】

とおくと、

これをn+1回微分すると、

この式にロドリゲスの公式を代入すると、