デデキント切断と上限、下限

デデキント切断と上限、下限

§１　上界と下界

Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。

あるα∈Rがあって、任意のx∈Aに対し、α≧xであるとき、αをAの上界という。

すなわち、

である。

あるβ∈Rがあって、任意のx∈Aに対し、β≦xであるとき、βをAの下界という。

すなわち、

Aの上界（下界）が存在するとき、Aは上に有界（下に有界）であるという。Aが上に有界かつ下に下界であるとき、Aは有界であるという。

例１　空でない実数Rの部分集合

があるとする。

α≧1の実数αに対して、任意のx∈Aはα≧xだから、αはAの上界で、1はAの最小の上界である。

β≦0の実数βに対して、任意のx∈Aはβ≦xだから、βはAの下界で、0はAの最大の下界である。

また、Aは上に有界でかつ下に有界だから、Aは有界である。

§２　最大数と最小数

AをRの空でない部分集合とする。

α∈Rが存在し、α∈AかつαがAの上界であるとき、αをAの最大数といい、記号max Aで表す。

β∈Rが存在し、β∈AかつβがAの下界であるとき、βをAの最小数といい、記号min Aで表す。

例２

とする。

このとき、1∈Rは、任意のx∈Aに対して

が成立するので、1はAの最大数。したがって、max A=1である。

また、0∈Rは、任意のx∈Aに対して

が成立するので、0はAの最小数。したがって、min A=1である。

例１の場合、Aの最小の上界1は1∉AだからAの最大数ではなく、Aの最小の下界0は0∉AだからAの最小数ではない。

§３　上限と下限

定理１

Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。

（ⅰ）　Aが上に有界ならば、Aの上界の全体集合Bには最小数が存在する。

（ⅱ）　Aが下に有界ならば、Aの下界の全体集合Bには最大数が存在する。

【証明】

（ⅰ）を証明する。

Aの上界全体の集合をBとし、それ以外の数を全体の集合をCとすれば、

である。

何故ならば、pがAの上界ではない（補足）ので、

だから、

したがって、ここに実数（C,B）の切断ができる。

すると、デデキント切断によって

のいずれかが存在するが、この場合は、（２）である。

（１）であるとすると、α∈Cだから、先ほどのpと同様に

であるxが存在し、ここで

であるα’をとれば、α’<x、x∈Aだから、このα’もAの上界ではなくα’∈C。

故に、

これはα=max Cであることに矛盾する。

（ⅱ）も同様。

（証明終）

（補足）

pがAの上界であるとは、

したがって、pがAの上界でないは、上の否定をとった

すなわち、

任意のp∈Rに対して、

x>p

を満たすx∈Aが存在する

になる。

（補足終）

Aの上界の最小数をAの上限といい、sup Aあるいはであらわす。

Aの下界の最大数をAの下限といい、inf Aあるいはであらわす。

Aが上に有界（下に有界）でないとき、sup A=+∞、inf A=−∞とあらわす。

上限、下限を用いると、定理１は次のように言い換えることができる。

定理２

（１）　上に有界な集合Aには上限sup Aが存在する。

（２）　下に有界な集合Bには下限inf Aが存在する。

定理３

sup A=αである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してx≦α、かつ、任意の正数ε>0に対してα−ε<xを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

inf A=βである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してβ≦x、かつ、任意の正数ε>0に対してx<β+εを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

デデキントの公理をもとにしてこれらの定理を導いたが、定理２からデデキントの公理を導くことができる。

（A,B)という切断があるとする。

集合Aは上に有界だから、定理２より上限α=sup Aをもち、α∈Aかα∈Bのいずれか一方である。

もし、α=sup A∈Aならば、αはAの最大数である。

α=sup A∈Bならば、定理３より、任意のε>0に対して、

であり、α−ε∉Bとなって、αは集合Bの最大数になる。

したがって、デデキントの実数の連続性公理と上限・下限の存在の定理２とは同値であり、どちらを実数の連続性の公理として良いことを示している。

実数の連続性の公理　（デデキント）

実数全体の集合Aの切断(A,B)を作ると、Aの最大数かBの最小数かのいずれかの一方だけが存在する。

定理４

【証明】

sup A=α、sup B=β、α>βとする。

とおくと、αはAの上限だから

となるx∈Aが存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≦βとなり、矛盾する。

よって、α≦βで、sup A ≦ sup Bである。

inf A=α、inf B=β、β>αとする。

とおくと、αはAの下限だから

となるx∈Aに存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≧βとなり、矛盾する。

よって、β≦αで、inf B ≦ inf Aである。

（証明終了）

例２

とすると、A⊂B。

このとき、inf A = 0、sup A = 1、inf B = −1、sup B = 2だから、inf B < inf A < sup A < sup Bとなり、

　　inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup B

が成立している。

A⊂Cで、inf C=0、sup C=1だから、inf C = inf A < sup A = sup Cとなり、

　　inf C ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup B

が成立している。

問　開区間I=(a,b)とするとき、inf I = a、sup I=bであることを示せ。ただし、a<b。

【解】

開区間I=(a,b)は

だから、任意のx∈Iならば、a<xかつx<b。

したがって、aは集合Iの下界、bは集合Iの上界である。

inf I=α<aとする。

とすると、定理１より

となり、αがIの下限であることに反する。

したがって、inf I=aである。

sup I= β>bとする。

とすると、

となり、βがIの上限であることに反する。

したがって、sup I=bである。

（解答終了）