第８回 単射、全射、逆写像

第８回　単射、全射、逆写像

§１　単射と全射

を写像とする。

任意のに対して

であるとき、fは単射であるという。

単射の定義には、（１）の対偶をとった次のものを使ってもよい。

任意のに対して

問　次のことを示せ。

（１）　f(x)=x³で定義される写像f:R→Rは単射である。

（２）　f(x)=x²で定義されるf:R→Rは単射でない。

【解】

（１）　f(x₁)=f(x₂)とすると、

これが成立するのは、

よって、

ゆえに、この写像は単射である。

（２）　f(1)=f(−1)=1だから、この写像は単射でない。

（解答終）

を写像とする。

任意のy∈Yに対して、f(x)=yを満たすx∈Xが存在するとき、すなわち、

であるとき、fは全射という。

また、fが全射かつ単射であるとき、fは全単射であるという。

問２　次のことを示せ。

（１）　f(x)=2x+3で与えられる写像f:R→Rは全射である。

（２）　f(x)=x²で与えられる写像f:R→Rは全射でない。

【解】

（１）　任意のy∈Rに対して

よって、この写像は全射である。

（２）　y=−1とすると、

を満たす実数xは存在しない。

したがって、この写像は全射ではない。

（解答終）

（１）のf(x)=2x+3で与えられるf:R→Rは単射でもあるので、全単射である。

問３　f(x)=x²で与えられる写像f:X→Yがあるとする。

（１）　Xを実数全体の集合Rとし、Y=｛y∈R｜y≧0｝とすると、fは全射になることを示せ。

（２）　X=｛x∈R｜x≧0｝、Y=｛y∈R｜y≧0｝とすると、fは全単射になることを示せ。

【解】

（１）　任意のy≧0に対して、とおくと、x∈Xであり、

となるので、fは全射である。

（２）は略

（解答終）

定理１　写像について次のことが成り立つ。

（１）　を満たす写像が存在すれば、fは全射である。

（２）　を満たす写像が存在すれば、fは単射である。

（３）　かつを満たす写像g、hが存在するならばfは全単射である。また、g=hである。

【証明】

（１）　任意のy∈Yに対して、とすれば、

よって、fは全射である。

（２）　だから

とすると、

よって、

ゆえに、fは単射である。

（３）　（１）、（２）よりfが全単射。

fは全単射だからy=f(x)を満たすx∈Xがただ一つ存在する。

一方、任意のyに対して

が成り立つので、

（証明終）

定理２　X、Y、Zを集合、を写像とする。このとき、次のことが成り立つ。

（１）　が単射ならば、fは単射である。

（２）　が全射ならば、gは全射である。

【証明】

（１）　f(x₁)=f(x₂)とすると、

は単射なので、x₁=x₂である。

したがって、

よって、fは単射である。

（２）　は全射なので、任意のz∈Zに対して、あるx∈Xがあって、

そこで、y=f(x)∈Yとおくと、

よって、gは全射である。

（証明終）

問３　写像であるf、gともに全単射ならば、XからZへの合成写像は全単射であることを示せ。

【解】

仮定より、任意のz∈Zに対してz=g(y)であるy∈Yが存在し、また、y=f(x)であるx∈Xも存在し、

よって、は全射である。

また、とすると、fは単射なので、

また、gも単射なので、

よって、は単射である。

したがって、は全単射である。

（解答終）

この逆、

が全単射ならば、f、gは全単射である

は、一般に、成立しないので、注意。

§２　逆写像

写像が全単射ならば、任意のy∈Yに対して、あるx∈Xが存在してy=f(x)である。一方、このようなx∈Xは各yに対してただ一つである。したがって、任意のy∈Yに対して、y=f(x)を満たすx∈Xがただ１つ定まり、写像を定義することができる。この写像gも全単射であり、を満たす。このような写像をfの逆写像といい、f⁻¹で表す。

問４　写像が全単射のならば、次のことが成り立つことを示せ。

【解】

（１）　任意のx∈Xに対して

（２）　任意のy∈Yに対して

定理３　とする。このとき、次のことが成り立つ。

【証明】

（１）　任意のx∈Xに対して

とおけば、

よって、

（２）　

、さらに、とすると、

（証明終）