第２８回 グリーンの定理

第２８回　グリーンの定理

今回も最初は、ガウスの発散定理。

ガウスの発散定理

閉曲面Sで囲まれた領域Vにおいて、ベクトル関数A(x,y,z)の偏導関数が連続であれば、

　　

そして、今回のテーマであるグリーンの定理を、このガウスの発散定理を使って証明することにする。

グリーンの定理

閉曲面Sで囲まれた領域Vにおいて、スカラー関数をφ(x,y,z)、ψ(x,y,z)とすれば

　　

【証明】

じっと見つめる。

　　

だから、

（１）の右辺は

　　

だから、ガウスの発散定理より

　　

なお、∇・(ψ∇φ)の計算では、∇・(ψA)=∇ψ・A+ψ∇・Aという公式を使っている。

これにA=∇φを代入すれば、

　　∇・(ψ∇φ)=∇ψ・∇φ+ψ∇・∇ψ=∇ψ・∇φ+ψ∇²φ

となる。

（２）は、（１）のφとψを入れ替えると

　　

となり、（１）式と上の式の差をとれば、
　　

（証明終）

実は、グリーンの定理には「平面におけるグリーンの定理」と呼ばれるもうひとつのバージョンがある。

（平面における）グリーンの定理を紹介する前に、領域Dを囲む曲線の向きについてあらためて定義するにゃ。

領域Dの境界の曲線の向き付は、Dの外側の境界に沿っては反時計回り、Dの内部の境界に沿っては時計回りを正の向きとする。

（平面における）グリーンの定理

領域Dとその境界CにおいてP(x,y)、Q(x,y)、が連続ならば、

　　

が成り立つ。

【証明】

領域Dが

a≦x≦, y₁(x)≦y≦y₂(x)

および

c≦y≦, x₁(y)≦x≦x₂(y)

のどちらでも表せるとする。

このとき、

　　

また

　　

よって、領域Dに対して、

　　

である。

一般の領域については、上の図のようにDを分割する。この時、各部分の領域ではそれらを足し合わせれば、右辺は

　　

になる。左辺も境界部分のは消えて

　　

となり、グリーンの定理が成立する。

このグリーンの定理が役に立つのかと言われるとちょっと困る。

理論的には重要な定理なのだけれど、実際のところ、意外に使い道のない定理かもしれない。

問題１　ベクトル場をA=(y,−x)とし、曲線Cを原点を中心とする半径１の円とする。このとき次の線積分の値を求めよ。

　　

【解】

平面におけるグリーンの定理より

　　

Dは原点を中心とする半径１の円Cに囲まれる領域なので、

　　

よって、

　　

真面目に線積分するならば、Cは原点を中心とする単位円なので、

　　

また、曲線C上では

　　

よって、

　　

問題２　ｘｙ平面の領域Dの面積Aは、Dの境界Cに沿っての線積分として

　　

であらわせることを示し、これを利用して半径aの円x=ascost、y=asint（0≦t≦2π）の内部の面積を求めよ。

【解】
P=−y/2、Q=x/2とする。

グリーンの定理より

　　

P=0,Q=x、P=−y、Q=0とし、グリーンの定理を用いれば、この線積分はいずれもになり、xy平面の領域Dの面積Aとなる。