第２７回 ガウスの発散定理２

第２７回　ガウスの発散定理２

ガウスの発散定理

空間の領域Vとその境界の閉曲面Sにおいて、ベクトル場Aが連続な導関数をもつならば

である。

ベクトル場Aを次のように成分に分けて書くと

　　

ガウスの発散定理は次のように書くことができる。

　　

で、早速、問題を。

問題１　次の面積分の値を求めよ。

　　

ただし、Sは上半球面：とからなる。

【解】

A=xz²i+(x²y–z)j+(2xy+y²z)kとすると

　　

よって、ガウスの発散定理より

　　

で、三次元の極座標

　　

を使うと、

　　

となる。

問題２　閉曲面Sで囲まれた領域Vにおいてスカラー関数をφ(x,y,z)とし、Sの法線方向に対する方向微分係数をdφ/dnとする。この時、次のことを証明せよ。

（１）

　　

（２）φが調和関数ならば、

　　

【解】

（１）

A=∇φとすると、ガウスの発散定理より

　　

で、

　　

そして、

　　

よって、

　　

（２）φは調和関数なので、

　　

よって、

　　

本や問題によっては、上の問題の方向微分をdφ/dnではなく∂φ/∂nと書いてある場合もあるので、この点は注意が必要。同じもので、表記が違うだけです。

定理というほどのものではないと思うけれど、定理らしいのであげておくにゃ。

定理　スカラー場φとベクトル場Aの共通の定義域内にある任意の領域Vと領域その境界面Sについて

　　

であれば、φ=∇・Aである。

【証明】

ガウスの発散定理より

よって

φ–∇・Aは連続であり、任意のVについて上の関係が成り立つので、φ–∇・A=0である。よって、

（証明終）

これは「連続」かつ任意の領域Vで成り立つので、上の定理が成り立つ。

問題３　閉曲面Sで囲まれた領域Vにおいて、スカラー関数φ(x,y,z)、ベクトル関数をA(x,y,z)とする。

（１）　次のことを証明せよ。

　　

（２）　A=∇φ、∇²φ=0ならば

　　

【解】

（１）　ガウスの発散定理から

　　

また、∇・(φA)=∇φ・A+φ∇・Aだから

　　

（２）A=∇φとし（１）の式に代入すると

　　

φは調和関数なので∇²φ=0で上の式の第２項は0。

よって、