第２２回 曲面

第２２回　曲面

面積分の話をするためには、どうしても、曲面についての議論を避けて通れないので、面積分に入る前に曲面についての話をすることにします。

点Pの位置ベクトルrが２変数uとvの関数であるとき、点Pは一般に曲面をえがく。このとき、

 　　
を曲面Sのパラメータ表示という。

①式において、vだけを固定してuを変化させれば、rは曲面S上で一つの曲線をえがく。この曲線をu曲線という。同様に、uを固定してｖを変化させれば、rは曲面S上でひとつの曲線をえがき、この曲線をv曲線という。u曲線とv曲線をあわせて座標曲線という。r(u,v)に対応する点をPとすれば、(u,v)を点Pの曲線座標という。

　　

はそれぞれu曲線、v曲線への接線ベクトルである。

曲面S上の任意の点で

　　

であるとする。

曲面r=r(u,v)の上の点P(u,v)において、その点をを通り、２つのベクトルによって決定される平面を点Pにおける曲面の接平面という。接平面に垂直なベクトルを法線ベクトルといい、

　　

を曲線座標(u,v)に対する単位法線ベクトルという。

ベクトルaとベクトルbを隣り合う２辺とする平行四辺形の面積は、

で与えられる。

次の図で示される微小な部分の面積ΔSを考える。

このとき、

　　

と近似できるので、斜線部で示される微小部分の面積ΔSは

　　

になる。

このままでとちょっと見づらいので、

　　

ただし、

　　

それで、これらは曲面r=r(u,v)の第一基本量という。

また、uv平面上の領域Dに対応する曲面の部分の面積Sは

　　

となる。

　　
を曲面r=r(u,v)の面積素という。

問題　曲面の方程式がz=f(x,y)で与えられるとき、曲面積の公式を求めよ。

【解】

u=x、v=yとする。このとき、曲面の方程式は

　　r=r(x,y)=(x,y,f(x,y))
となる。

　　よって、

　　

重積分の
第１６回　曲面積

のところでも上の公式は求めてある。

曲面には裏と表、内側と外側があるにゃ。だから、法線ベクトルnの向きは２通りあることになるケロ。

で、曲面の法線ベクトルの（正の）向きは、裏から表に向かうものとする。

曲面の裏、表の選び方は任意で良いけれど、曲面が空間の有界な領域を囲んでいる場合、空間領域の外へ向かうようにnの向きをとることにする。

ちなみに、メビウスの帯には表と裏がない。こういう曲面は法線ベクトルの向きを決めることができない。