2016年6月18日土曜日

第24回 面積分2

第24回 面積分2


曲面S上で定義されたベクトル関数をA(x,y,z)、曲面S上の各点での単位法線ベクトルをnとするとき、面積分は
  
で定義される。
Ann上へのAの正射影であり、
  
とすれば、面積分は
  

面積分のところでやったように、曲面Sを微小な部分に分割し、その一つの面積をΔS、単位法線ベクトルをnとする。
このとき、nの成分
  
n方向余弦であり、面積ベクトルnΔSの成分は
  で、これを
  
とおけば、ΔS₁ΔSyz平面上に正射影して得られるものに正負の符号をになる。
 ーーΔS₂ΔSzx平面上に、ΔS₃ΔSxy平面上に正射影して得られたものに正負の符号を付けたものーー
nΔSΔSで表せば、
  
ΔS₁ΔS₂ΔS₃は座標平面上の面積だから、面積分を
  と書くことができる。
これは、ndS=dSとおき、ベクトルdSの成分を
  
としたものと考えることができる。

これは次のように考えることもできる。
曲面Sr=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))であらわされるとする。このとき、単位法線ベクトルn
  
そして、面積素は
  
だから、面積分は
  
となる。
で、
  とする。
これ、重積分のところでやったヤコビアンだケロ。
ということで、
  
となる。
よって、
  
と書くこができる。

重積分のところで、
  
としたとき、
  
になるという話をしたけれど、これを使っている。
面積分や体積分の計算は、重積分の計算ができないことには話にならないので、次回は重積分の簡単な復習をやるケロ。

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