第２６回 ガウスの発散定理

第２６回　ガウスの発散定理

ガウスの発散定理

閉領域Sに囲まれた領域Vにおいて、ベクトル関数A(x,y,z)が連続な偏導関数をもつならば、

　　

である。ただし、nはSの内部から外部へ向かう単位法線ベクトルである。

ベクトル関数の発散を∇・Aではなく、div Aという記号を使ってあらわすならば、①は

　　

となる。

また、ベクトル関数Aをベクトルの成分に分けて

　　

とすると、①は次のように書き換えることもできる。

　　

上の式の右辺については、面積分２のところで

　　

になるという話をした。

では、ガウスの発散定理の証明。

【証明】

図のようにVが上の曲面S₂と下の曲面S₁で囲まれているとする。そして、n₂とn₁をそのS₂とS₁の単位法線ベクトルとする。さらにS₂はS₂=φ₂(x,y)でS₁はS₁=φ₁(x,y)で与えられているものとする。DはS₂とS₁の接合面のxy平面上の正射影をDとする。

　　

S₂の各点の法線ベクトルn₂は

　　

と一致するけれど、S₁では向きが違って−n₁になっている。

　　

よって、

　　同様にして

　　となり、これらを辺々に足し合わせれば

　　となり、

　　である。

この証明なんてわからなくてもいいにゃ。

欲しいのは、ガウスの発散定理だにゃ。

このガウスの発散定理がどれだけすぐれものかというと、次の問題を解くとわかるにゃ。

問題１　Sを原点を中心とする半径aの球の表面x²+y²+z²=a²（a>0)とする。このとき、ベクトル関数A=xi+yj+zkのS上の面積分を求めよ。

【解】

　　

ガウスの発散定理より

　　

ここで、Vはx²+y²+z²=a²で囲まれた領域、0≦x²+y²+z²≦a²、つまり、原点を中心とする半径aの球。

　　

は半径aの球の体積だから、

　　

だから、

　　

問題２　平面x=0、y=0、z=0、x+y+z=a（aは正の定数）で囲まれた三角錐の全表面をSとする。このとき

　　

を求めよ。

【解】

　　r=xi+yj+zkだから、∇・r=3。

で、ガウスの発散定理から

　　

ここで、Vは平面x=0、y=0、z=0、x+y+z=a（aは正の定数）で囲まれた三角錐。

で、三角すいの体積は、三角形の底面積がa²/2で高さがaなので

　　

よって、

　　

【別解】

面積分を使って真面目に計算するならば、

　　φ(x,y,z)=x+y+z

とする。

　　∇φ= i+j+k=(1,1,1)

になるので、単位法線ベクトルnは

　　

そして、S上では、z=a–x–yだから

　　

よって、

　　

となり、

 　　

この問題のSのxy平面の正射影はx+y+z=aにz=0を代入したもの、つまり、x+y=aとx=0、y=0で囲まれる領域、つまり、

　　D={(x,y)|0≦x≦a,y=a–x}ね。

外積を使ってもいいけれど、それはちょっと大袈裟だろう。 行列式を計算しないといけないし、これを書くのも大変だし(^^ゞ