第３４回 曲線座標の続き

第３４回　曲線座標の続き

前回、曲線座標の線元素dsは

　　

であること、ただし、

　　

さらに、曲線座標の単位ベクトルu、v、wが

　　

になるというところまでやったにゃ。

で、曲線座標の代表的なものである球座表のh₁、h₂、h₃を求めることにするにゃ。

球座表、３次元の極座標とは次のようなもの。

　　

だから、

　　

となる。

問題１　円柱座標のh₁、h₂、h₃を求めよ。

【解】

円柱座標は

　　

だから、

　　

zはそのままだから計算をする必要はないケロ！！

問題２　店の位置ベクトルをrとすれば

　　

である。

【解】

uと∂r/∂uは同じ向きをもち、|u|=1、|∂r/∂u|=h₁なので、

　　

同様に、

　　

そして、今回のメインである次の問題を解くことにする。

問題３　ベクトルAのu、v、wの成分と直交軸に関するには次の関係があることを示せ。

　　

いきなり解いてもいいのだけれど、「急がば廻れ」ということで脱線するにゃ。

前回、方向余弦というものをやった。で、uの方向余弦をl₁、m₁、n₁、vの方向余弦をl₂、m₂、n₂、wの方向余弦をl₃、m₃、n₃とする。そうすると、

　　

という関係が成立する。

　　

Aとuの内積をとると、u、v、wはそれぞれが直交するから、u・v=v・w=w・u=0で、

　　

同様に、vとwの内積をとると、

　　

つまり、

方向余弦が与えられているとき、上の式が変換公式になる。

【解】

　　

だから、

　　

同様に、

　　

となり、

となる。

ちなみに、

　　

ね。同様に、