第２回 関数の極限２

第２回　関数の極限２

定理１

とすると

［証明］

（１）　c=0のときはあきらか。

c≠0とすると、正数ε>0に対して

となる正数δが存在する。

したがって、

（２）

だから、正数ε>0に対して

となる正数δ₁、δ₂が存在する。

よって、

とすると、

（３）

だから、任意の正数ε'>0に対して適当な正数δをとると

すると、

だから

にとれば、

（４）　まず

を証明する。

x→aのときf(x)→lだから、

にとると、

となる正数δが存在する。

このとき

よって

となり（A)が証明された。

そして、（３）と（A)より

（証明終）

定理２

あるδ>0に対して

であって、f(x)、g(x)が点aで収束するならば、

である。

［証明］

とし、l>mと仮定する。

だから、に対してあるδ₁が存在して

だから、に対してあるδ₂が存在して

したがって、

とすると、で

となり、仮定と矛盾し、不合理。

よって、

である。

（証明終）

例

f(x)<0であるが、

だから、

は成立しない。

定理３（ハサミ打ちの定理）

aの近傍でf(x)<h(x)<g(x)で

ならば、

［証明］

だから、任意の正数ε>0に対して、

したがって、

とおくと、

よって、

したがって、

（証明終）