第３回　関数の右側極限、左側極限と関数の連続

§１　右側極限値と左側極限値

xをaに近づけるとき、aより大きい方（右側）から近づくことをx→a+0、小さい方から近づくことをx→a–0 であらわす。特にa=0のとき、それぞれを、単にx→+0、x→–0 であらわす。

左側、右側極の定義

x→a+0のときf(x)が限りなくある定数lに近づくことを

とあらわし、lをaにおける右側極限値という。

同様に、x→a–0のときf(x)が限りなくある定数lに近づくことを

とあらわし、lをaにおける左側極限値という。

ε-δ論法による右側極限、左側極限の定義は

任意の正数ε>0に対して、あるδ>0があって

定理４

と、は同値である。

［証明］

十分）

とすると、任意の正数ε>0に対してあるδ>0があって

よって、

となり、

である。

必要）

とすると、任意のε>0に対して、δ₁>0、δ₂>0があって

このεに対して、

をとれば、

よって、

（証明終）

例１

x>1のとき

x<1のとき

したがって、

だからは存在しない。

§２　関数の連続

f(x)はaの近傍で定義されている関数とする。

であるとき、f(x)はx=aで連続であるという。

ε-δ論法による定義は、たとえば、次のようになる。。

任意の正数εに対して

となる正数δが存在するとき、f(x)はx=aで連続であるという。

なお、関数の極限の定義は

任意の正数εに対して

となる正数δが存在するとき、lはx→aのときの極限値という。

関数の連続の定義（２）と関数の極限の定義（３）はよく似ており、定義の違いがわかりにくいと思うのだが、この定義の違いは、主に、関数f(x)がx=aで定義されているかどうかによるものである。

つまり、関数の極限の場合、点aは関数f(x)の定義域に含まれていようが含まれていまいが、どちらでも構わない。このことは、（３）の定義を見ると明らかであろう。

何故ならば、

だからx=aは含まれていないからだ。

このことは次の例を見ると、定義の差の理由の理解が容易になるだろう。

例２

のとき、

しかし、x=1で関数f(x)は定義されていないのでf(1)は存在しない。

例３　有名な極限の公式

であるが、

は、f(x)はx=0で定義されていないのでf(0)は存在しない。

ただし、x=0のときf(0)=1と定義し、

とすると、

が成立し、x=0でf(x)は連続である。

例４

 

この関数f(x)の場合、

となり、だからは存在しない。

したがって、は成立せず、f(x)はx=1で不連続である。

例４のような不連続点を跳躍連続点とよび、を関数f(x)のx=aにおける跳び、跳躍などと呼ぶ。

また、が成立するときf(x)はx=aにおいて右連続という。ε-δ論法による定義は次のようになる。

任意の正数εに対して、

である正数δが存在する。

が成立するときf(x)はx=aにおいて左連続という。ε-δ論法による定義は

任意の正数εに対して

である正数δが存在する。

定理５

関数f(x)が点aで連続である必要十分条件は、f(x)が点aで右連続かつ左連続であることである。

なお、例４の場合、f(x)はx=1において左連続であるが、右連続ではない。