第４回 関数の連続２

第４回　関数の連続２

関数の連続のε-δ論法による定義をあらためて示す。

関数の連続の定義

任意の正数ε>0に対して、あるδ>0があって

であるとき、f(x)は点aで連続であるという。

関数の連続の定義と関数の極限に関する定理（定理１）から次の定理が成り立つことは明らかであろう。

定理６

関数f(x)、g(x)が点aで連続であれば、λ、μを実数とすると、

は点aで連続である。

g(a)≠0ならばは点aで連続である。

定理７

関数f(x)が点aで連続である必要十分条件は、f(x)が点aで右連続かつ左連続であることである。

［証明］

十分性）

f(x)は点aで連続だから、任意の正数ε>0に対して、あるδ>0があって

よって、

であり、f(x)は点aで右連続である。

また、

だから、f(x)は点aで左連続である。

必要性）

εを任意の正数とすると、f(x)は点aで右連続だからあるδ₁>0があって

で、f(x)は点aで左連続だからあるδ₂>0があって

よって、δ

にとれば

である。

（証明終了）

定理８

関数f(x)が点aで連続かつf(a)≠0ならば、点aの十分近くの点xではf(x)はf(a)と同符号である。

［証明］

f(a)>0の場合を証明すれば十分だから、f(a)>0の場合を証明する。

f(x)は点aで連続だから、任意の正数ε>0に対して、あるδ>0があって

である。

εは任意の正数だから

とおくと、これに対応するδ>0をとれば

（証明終了）

問　f(a)<0の場合の定理６の証明し、証明を完成せよ。

ちなみに、f(a)>0の場合の証明を利用するならば、たとえば、次のように証明すればいいだろう。

f(a)<0のとき、g(x)=–f(x) とおけば、f(x)が点aで連速だから定理４からg(x)も点aで連続でかつg(a)>0になる。

よって、上記の定理８の証明より、点aの十分近くの点でg(x)>–f(x) >0となり、f(x)<0でf(a)<0と同符号になる！！

であるが、ε-δ論法に慣れるために、f(a)>0の場合の上の証明を真似して、自力で証明して欲しい。

ヒントは、

の

を使う。

f(a)<0だから、例えば、

とすればよい！！