第２０回 数列の極限とその定理

第２０回　数列の極限とその定理

数列

自然数全体の集合をNで表す。すなわち、N={1, 2, 3, ・・・, n, ・・・}。

自然数Nから実数Rへの写像を実数列、または、数列といい、記号あるいは単にで表す。これは実数をと並べたものである。

数列の収束

数列が次の条件を満たすときα∈Rが存在するとき、はαに収束するという。

任意のε>0に対して、あるmが存在して、

である。

このとき、αを数列の極限値といい、あるいはと表す。

が収束しないとき、は発散するという。

特に、任意のMに対して、あるmが存在し、

であるとき、は∞に発散するといい、あるいはで表す。

また、であるとき、は−∞に発散するといい、あるいはで表す。

定理１　（数列の極限の一意性）

収束するの極限値は１つである。

【証明】

だから、任意のε>0に対して、ある正の整数m₁があって

また、

とすると、ある正の整数m₂があって

よって、m=max{m₁,m₂}とすると、任意のε>0に対して

となり、｜α–β｜=0となり、α=β。

よって、の極限値は１つである。

（証明終）

数列のすべての項に対して、ある実数Mが存在して、

であるとき、は有界であるという。

定理２　（収束数列の有界性）

収束する数列は有界である。

【証明】

とする。

ある１つの値にε>0をとると、ある正の整数mがあって、n>mならば

である。

そこで、

の最大値をMとすると、

よって、収束する数列は有界である。

（証明終）

定理３　（数列の極限の大小）

数列は収束し、

であるならば、

である。

【証明】

とし、α>βと仮定する。

任意のとおくと、より、ある正の整数m₁があって

より、ある正の整数m₂があって

よって、m=max{m₁,m₂}にとると、n>mならば

となり、に矛盾。

ゆえに、α≦βである。

（証明終）

定理４　（数列の極限の公式）

、λ、μを実数の定数とする。このとき、次が成り立つ。

定理５　（ハサミ打ちの定理）

すべての正の整数nについてで、かつ、ならば、

である。

【証明】

より、任意のε>0に対して、ある正の整数m₁があって、n>m₁ならば

より、任意のε>0に対して、ある正の整数m₂があって、n>m₂ならば

また、だから、m=mas{m₁,m₂}にとると、

よって、である。

（証明終了）

であるとき、は単調増加するという。

であるとき、は単調減少するという。

定理６　（有界な単調数列の収束性）

が単調増加数列かつ上に有界（単調減少数列かつ下に有界）ならばは収束する。

【証明】

上に有界な単調増加数列の場合について証明する。

は上に有界だから、上限αをもつ（実数の連続性）。

したがって、

で、かつ、任意のε>0に対して

であるmが存在する。

したがって、n>mならば

よって、

上に有界な単調増加数列は収束し、極限値はαである。

下に有界な単調減少数列の場合も同様。

（証明終）

定理７

とする。ならば、は収束し、である。

【証明】

条件より、は上に有界な単調増加数列、は下に有界な単調減少数列。よって、定理６より、は収束する。

とおくと、定理３よりα≦β。

よって

したがって、

で、より、β–α =0となり、α=βである。

【証明終了】

定理８　（区間縮小法）

閉区間の列において

ならば、すべての閉区間に含まれる１点αが存在し、

である。

定理８は定理７より明らかだろう。

部分列

φを自然数NからNへの狭義単調増加関数（n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂)）とする。数列が与えられたとき、数列をの部分列という。

を、とおき、で表す。

定理９

収束する数列の部分列は同じ極限値に収束する。

【証明】

だから、任意のε>0に対して、ある自然数mが存在して、

である。

だから、

（証明終）