第４回 ２変数関数の極限の計算例

第４回　２変数関数の極限の計算例

問題１　次の極限を求めよ。

【解】

とすると、｜x｜≦r、｜y｜≦r。したがって、r→0+0のとき、｜x｜→0、｜y｜→0になる。

（１）　(x,y)≠(0,0)とする。

よって、

（２）　x=t、y=mtとおき、t→0として、(x,y)を(0,0)に近づける。

このとき、極限値は

mの値によって、つまり、(x,y)の(0,0)への近づき方によって極限値が変化するので、この極限値は存在しない。

（３）

（解答終了）

x=rcosθ、y=rsinθと極座標に変換して、r→0+0の極限を求める方法もある。このとき、極限値がθにかかわらず一定の値に収束すれば、その値が極限値である。

【別解】

（１）

とおき、x=rcosθ、y=rsinθを代入すると、

（２）

とする。

この極限はθの値によって変わるので、極限

は存在しない。

（解答終了）

問題２　次の極限を求めよ。

【解】

（１）　x軸に沿って(0,0)に近づく、要するにy=0として、x→0とすると、

y軸に沿って(0,0)に近づける、要するにx=0として、y→0とすると、

この２つの極限が一致しないので、は存在しない。

（別解）

直線y=mxにそって(0,0)に近づけると

mの値によって極限値が変わるので、は存在しない。

（２）　x軸にそって(0,0)に近づけると、

y軸にそって(0,0)に近づけると

よって、極限は存在しない。

（３）　とおくと、

（別解）

（解答終了）