第１７回 ロピタルの定理

第１７回　ロピタルの定理

ロピタルの定理Ⅰ

関数f(x)、g(x)は点aのある近傍で連続、aを除いた近傍で微分可能、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、f(a)=g(a)=0であり、が存在するならばも存在し、

である。

［証明］

xを点aの近傍の点とする。

x>aのとき、f(x)、g(x)は閉区間[a,x]で連続、開区間(a,x)で微分可能、かつ、g'(t)≠0（t∈(a,x)）だから、コーシーの平均値の定理より

であるcが存在する。

したがって、x→a+0のときc→a+0だから、

である。

x→a–0 のときも同様に

が存在するので、

したがって、

（証明終了）

ロピタルの定理Ⅱ

関数f(x)、g(x)は点aのある近傍で連続、aを除いた近傍で微分可能、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、であり、が存在するならばも存在し、

である。

ロピタルの定理Ⅱのように、ロピタルの定理の条件がf(a)=g(a)=0ではなく、の場合は、

とおき、F(x)、G(x)にロピタルの定理Ⅰを適用すると、

となり、ロピタルの定理Ⅱの証明が証明される。

ロピタルの定理Ⅲ

関数f(x)、g(x)が無限区間(a,∞)で連続で微分可能で、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、であり、が存在するならば、も存在して、

である。

［証明］

a>0とする。

t=1/xとおくと、(a,∞)は(0,1/a)に写される。したがって、x→∞はt→0+0になる。

とおくと

となるから、

よって、ロピタルの定理Ⅱより、が存在して、

したがって、

a<0のときも同様に証明される。

（証明終了）

ロピタルの定理Ⅳ

関数f(x)、g(x)は開区間(a,b)で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、

で、さらにが存在するならば、も存在し、

である。

［証明］

とおき、0<ε<1とする。

このとき、δ₁>0が存在して

a<x<c<a+δ₁のとき、[x,c]でコーシーの平均値の定理を用いると、

であるξが少なくともⅠつ存在する。

この式は次のように変形可能。

だからg(x)>0としてよく、

cを固定すると、だから

よって、適当なδ₂>0を選ぶと、

したがって、δ=min(δ₁,δ₂)にとると

よって、

である。

（証明終）

同様に、次のロピタルの定理Ⅴが証明される。

ロピタルの定理Ⅴ

関数f(x)、g(x)は開区間(a,b)で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、

で、さらにが存在するならば、も存在し、

である。

そして、ロピタルの定理Ⅳとロピタルの定理Ⅴから、次のロピタルの定理Ⅵが証明される。

ロピタルの定理Ⅳ

関数f(x)、g(x)は点aを除く点aの近傍で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、

で、さらにが存在するならば、も存在し、

である。