第21回 ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理とコーシーの収束条件
定理10
有界な数列
は収束する部分列をもつ。
【証明】
有界だから
を満たす正の実数Kが存在する。
つまり、
閉区間[
–K, K] を二等分して、[–K,
0] と[0,
K] という閉区間を作ると、
このどちらかに
の無数の項がある。
かりに[0,
K] にあるとして、
として、これをまた二等分する。すると[0,K/2]
と[K/2,
K] になって、このどちらかに
の無数の項が存在する。
かりに[K/2,
K]に無数の項があるとすると、
として、これをまた二等分する。
こうした操作を繰り返してゆくと、
という閉区間の減少列が得られる。
すると、
になる。
区間縮小法から、これら閉区間すべてに共通に含まれる一つの数αが存在する。
次に、
のなかに含まれる数列
の項の中で最も番号が若いものを
、
に含まれる数列の中で最も番号が若いものを
といった具合に、この操作を
と無限に繰り返す。
すると、
という
の部分列
が得られて、①と②より、
はα
に収束する。
(証明終了)
コーシー列
次の条件を満たす数列をコーシー列という。
任意のε
> 0 に対して、次の条件を満たすm
∈ N が存在する。
収束する数列
はコーシー列である。
何故ならば、
とすると、
だからである。
定理11 (コーシーの収束条件)
数列
が収束するための必要十分な条件は、数列
がコーシー列であることである。
【証明】
収束する数列
がコーシー列になることは先に証明した。
したがって、
がコーシー列であるならば、
が収束することを示せばよい。
条件より
任意のε
> 0 に対して、次の条件を満たすm
∈ N が存在する。
q=m+1
に固定し、p>m
とすると
よって、p>
m で、数列は有界。 これにm以下の項を加えても、
はやはり有界。
ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より、
の部分列でα
に収束するものがあるから、任意の正の数ε
に対し適当なm₁を定めると
、k>m₁で
となkが無数に存在する。
また、条件から
となり、m'=max{m,m₁}とすると、k>m'
で
をみたす k
が無数に存在し、そのkに対して
したがって、n>m'のすべてのn
について
となり、
である。
(証明終了)
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