第３３回 無理関数の不定積分

第３３回　無理関数の不定積分

被積分関数が無理関数を含む場合、適当な変数変換をすると、不定積分を求めることができる場合がある。

定理１

R(x,y)がxとyの有理関数ならば、はとおくと、有理関数の積分に帰着できる。

問１　次の不定期分を求めよ。

【解】

（１）　t=√xと置き、両辺を２乗すると、x=t²。したがって、dx=2tdt。

よって、

（２）　とおき、両辺を３乗してxについて解くと

ゆえに、

（２）　とおき、両辺を２乗し、xについて解くと

したがって、

よって、

（解答終）

定理２

R(x,y)がxとyの有理関数ならば、は次の変換によって有理関数の積分に帰着する。

（１）　a>0のとき、

（２）　のとき、

問２　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　とおくと、

両辺を２乗してxについて解くと、

ゆえに

（２）　とおくと

両辺を２乗してxについて解くと

したがって、

ゆえに

（３）　だから、

とおき、この両辺を２乗すると、

よって、

ゆえに

（解答終）

問３　次の問に答えよ。

（１）　次の不定積分を求めよ。

（２）　（１）の結果を利用して、次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）

（２）

t=x+1/2とおくとdx=dtだから

（解答終）