第３８回 定積分の計算２ 置換積分

第３８回　定積分の計算２　置換積分

定理　（置換積分）

関数f(x)は区間Iで連続、とする。x=φ(t)が区間JでC¹級であって、かたa=φ(α)、b=φ(β)ならば

【証明】

f(x)の原始関数をF(x)とすると、

この右辺はJで連続だから積分可能。

よって、

（証明終）

問１　次の値を求めよ。

【解】

（１）　t=3x²+4とおくと、x=0にはt=4、x=2にはt=16が対応し、dt=6xdxだから、

（２）　x=sintとおくと、t=0のときx=0、t=π/2のときx=1で、

また、dx=costdtだから、

（３）　2x−x²=1−(x−1)²だからx−1=sintとおくと、t=−π/2のときx=0、t=0のときx=1で、

また、dx=costdtだから、

（４）　x=tantとおくと、t=0のときx=0、t=π/4のときx=1で、

よって

（５）　とおくと、x=0のときt=0、x=π/2のときt=1で、

だから、

（６）　とおくと、x=0のときt=0、x=π/2のときt=1で、

だから、

（解答終）

もちろん、（４）は

と計算してよい。

問２　f(x)を[−a,a]で連続とする。

　f(x)が奇関数（f(−x)=−f(x)）ならば

　f(x)が偶関数(f(−x)=f(x)ならば

であることを示せ。

【解】

x=−tとおくと、x=−aのときt=a、x=0のときt=0が対応し、dx=−dtだから

f(x)が奇関数のとき

だから、①に代入すると、

f(x)が偶関数のとき

これを①の右辺に代入すると

（解答終）

問３　であることを示して、次の定積分の値を求めよ。

【解】

x=π−tとおくと、

（１）

（２）

（３）

t=cosxとおくと

したがって、

（解答終）

問４　であることを示し、の値を求めよ。

【解】

x=π/2−tとおくと、

である。

n≧2のとき

したがって、

nが偶数のとき

nが奇数のとき

（解答終）