第０回 実数の連続性

第０回　実数の連続性

Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。

ある実数uが存在し、任意のx∈Aに対して、

が成立するとき、Aは上に有界であるといい、uをAの上界（じょうかい）という。また、Aの上界の最小値を上限といい、記号

や

などであらわす。

uがAの上限であるとは、

　（ⅰ）　任意のx∈Aに対して、x≦uである　（uがAの上界）

　（ⅱ）　u'<uならば、u'<xであるAの元xが存在する　（uより小さいAの上界は存在しない）

ことである。

この条件（ⅰ）、（ⅱ）は次のようにしてもよい。

α=sup Aであるとは、次の条件を満たすことである。

　（ⅰ）　任意のx∈Aに対してx≦α

　（ⅱ’）　任意の正数εに対して、

　であるAの元xが存在する。

ある実数lが存在し、任意のx∈Aに対して、

であるとき、Aは下に有界といい、lをAの下界（かかい）という。また、Aの下界の最大値を下限といい、記号

や

などであらわす。

lがAの下限であるとは、

　（ⅲ）　任意のx∈Aに対して、l≦xである　（ｌがAの下界）

　（ⅳ）　l<l'ならば、x<l'であるAの元xが存在する　（lより大きいAの下界は存在しない）

ことである。

この条件（ⅰ）、（２）は次のようにしてもよい。

β=inf Aであるとは、次の条件を満たすことである。

　（ⅲ）　任意のx∈Aに対してl≦xである

　（ⅳ’）　任意の正数εに対して、

を満たすAの元xが存在する

集合Aが上に有界かつ下に有界であるとき、Aは有界であるという。

実数の連続性の公理

上に有界な実数全体の集合Rの部分集合は上限をもつ。また、下に有界な実数全体の部分集合は下限をもつ。

例　開区間(0,1)の上限は１、下限は０。閉集合[0,1]の上限は1、下限は0である。

問　開区間(0,1)の上限が１、下限が０であることを示せ。

定理０　（アルキメデスの公理）

任意の自然数nに対して、

である。

また、自然数全体の集合Nは上に有界でない。

【証明】

もし、任意の自然数nに対して

が成り立つならば、

となり、自然数全体の集合Nは上に有界になる。

したがって、自然数全体の集合Nが上に有界でないことを示せばよい。

もし、Nが上に有界ならば、実数の連続性の公理より上限αをもつ。

したがって、

任意の自然数nに対してn≦α。

αは上限なので、ε=1とすると、（１）より、α−１<nであるn∈Nが存在することになるが、これからα<n+1∈Nとなり、αがNの上限であることに反する。

よって、自然数全体の集合Nは上に有界でない。

（証明終）

上の定理０ではなく、下の定理０’をアルキメデスの公理と呼ぶ場合もある。

定理０’　（アルキメデスの公理）

任意の正の実数a、bに対して、

である自然数nが存在する。

【証明】

もし、任意の自然数に対して

であるとすると、

任意の自然数nに対して

となり、b/aは自然数全体の集合Nの上界である。Nは上に有界なので、実数の連続性の公理より、上限αをもつ。

したがって、

任意の自然数n∈Nに対して

である。

αは上限なので、ε=1とすると、（１）より、α−１<nであるn∈Nが存在することになるが、これからα<n+1∈Nとなり、αがNの上限であることに反する。

よって、自然数全体の集合Nは上に有界でない。

（証明終）

無限大記号

実数全体の集合Rの部分集合Aが上に有界でないとき、

と表す。

集合Aが上に有界であるとは「ある実数Kがあり、任意のx∈Aに対してx≦u」ということ、すなわち、

なので、集合Aが上に有界でないとは、（３）を否定した

となる。すなわち、

「任意の実数Kに対して、

を満たすxがAに存在する」

ことである。

また、Aが下に有界でないとき、

で表す。

また、Aが下に有界とは

ということなので、

すなわち、

「任意の実数Kに対して、

を満たすxがAに存在する」

ことである。

＋∞、−∞ともに実数ではないけれど、x∈Rに対して

と大小関係を定義することにする。

また、

さらに、

と加法を定義することにする。

x>0のとき、

x<0のとき

x=0のとき、

さらに、

と乗法を定義することにする。

除法に関しては、xが実数のとき、

問　という引き算、また、といった割り算を定義しないのか、その理由について考えよ。