第１回 関数の極限
f(x)=xという関数がある。xが1に近づけば近づくほど、f(x)の値は1に近づいていく。
このことを、
や
であらわし、1を点x=1における極限値という。
次に関数f(x)=x²という関数の場合について考えてみることにする。
xがaに近づけば近づくほど、f(x)の値はa²に限りなく近づいてゆくので、a²は関数f(x)=x²のx=aにおける極限値である。
したがって、
となる。
そして、
上の２つの例の場合、いずれも、
である。
この場合、xが0に近づけば近づくほど、f(x)の値は１に限りなく近づく。しかし、f(0)=0≠１なので、
である。
したがって、関数の極限は、次のようなものになるだろう。
xが限りなく点aに近づくと関数f(x)が限りなくある実数の値lに近づくとき、この値lを、点aにおける関数f(x)の極限値といい、記号、
や
などで表す。また、このとき、関数f(x)は点aでlに収束するという。
また、関数f(x)が点aでいかなる実数ｌに収束しないとき、f(x)は点aで発散するという。
xが点aに近づけば近づくほど、f(x)の値が限りなく大きくなるなるとき、
で表し、関数f(x)は点aで＋∞（あるいは∞）に発散するという。
逆に、xが点aに近づけば近づくほど、−f(x)の値が限りなく大きくなるとき、
で表し、関数f(x)は点aで−∞に発散するという。
例
とすると、
である。
問１ 次の極限値を求めなさい。
【解】
x≠aのとき、
したがって、
である。
（解答終）
（注意）
は、
などの意味で点aを定義域に含まない。
したがって、
実数全体の集合Rで定義される次の関数g(x)
と、f(x)の関数の定義域が異なっているので、f(x)とg(x)は異なる関数である。
また、点aにおける関数の極限を論じる場合、問１の関数f(x)のように、関数は点aで定義されたいなくもよく、点aを除く点aの近傍、すなわち、
でのみ定義されていればよい。
（注意終）
いちいち、このように書くのは面倒なので、次のように簡略に書くことにする。
【解】
（解答終）
問２ 次の極限値を求めよ。
【解】
（解答終）
この関数の場合、x=0の左側から点x=0に近づけばf(x)は0に近づき、点x=0の右側から点x=0に近づけばf(x)は1に近づく。
このような場合、0を点x=0におけるf(x)の左側極限といい、
で表し、1を点x=0におけるf(x)の右側極限といい、
と表す。
より一般に、
点x=aにおけるf(x)の左側極限を
で表し、点x=aにおけるf(x)の右側極限を
で表す。
（注）
と表すことがある。
そして、この左側極限と右側極限という概念を用いると、関数f(x)の点x=aにおける極限は次のように言い表すことができる。
ならばであり、ならば
である。
問３ 次の関数がx=0における極限値が存在するように、cの値を定めよ。
【解】
x=0におけるf(x)の極限値が存在するためには、
でなければならないので、
（解答終）
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