第３６回 微積分の基本定理

第３６回　微積分の基本定理

f(x)が[a,b]で連続ならば、f(x)は[a,b]で積分可能である。

定理１　（積分の平均値定理）

f(x)が[a,b]で連続ならば、

を満たすξが存在する。

【証明】

f(x)が[a,b]で定数cのとき、

だから、

となり、a<ξ<bである、任意のξについて成り立つ。

f(x)が[a,b]で定数でないとき、f(x)は有界閉区間[a,b]で最小値mと最大値Mを持つ。

したがって、中間値の定理より

（証明終）

定理２

f(x)は区間Iで連続とする。定点と任意のに対し、

とおくと、F(x)はIの各点xで微分可能で、

【証明】

f(x)はIで連続だから、積分の平均値の定理より

となるθが存在する。

したがって、

（証明終）

定理３

f(x)を[a,b]で連続とする。F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、

ならば、

【証明】

定理２より

はf(x)の原始関数の１つで、

したがって、

だから、

したがって、

（証明終）

問１　次の定積分の値を求めよ。

【解】

（１）　はの原始関数なので、

（２）

（３）

m≠nのとき

m=nのとき、

（解答終）

問２　f(x)を[a,b]で連続な関数とするとき、次のことを示せ。

任意のx∈[a,b]に対してならば、である。

【解】

の両辺を微分すると、

（解答終）

問３　次の条件を満たす連続な関数f(x)を求めよ。

【解】

（１）　は定数なので、

とおくと、

したがって、

よって、

（２）　両辺を微分すると、

両辺を積分すると

また、

だから、x=1を代入すると、

よって、

したがって、

（解答終）

問４　次のことを示せ。

（１）　f(x)が区間Iで連続、φ(x)が区間Jで微分可能であって、ならば、a∈Iと任意のx∈Iに対して、

（２）　f(x)が実数全体の集合Rで連続であって、任意のx、h∈Rに対して

ならば、f(x)は定数値関数である。

【解】

（１）　とおくと、

Fとφが微分可能であるから、Φは微分可能であって、

また、

だから、

（２）　xを固定し、両辺をhで微分すると、

これが任意のhについて成り立つので、f(x)は定数値関数である。

特にh=−xとすれば、

（解答終）