ヤングの不等式とその証明

ヤングの不等式とその証明

お前らは、次の不等式をどうやって証明するケロか。

問題（ヤングの不等式）

p、qを

である正の実数とする。

a>0、b>0ならば

であることを示せ。

【解】

したがって、p>1、q>1。

とおき、微分すると

p>1だから

x	0	・・・		・・・
f'(x)		−	0	＋
f(x)		減少	極小	増加

したがって、のときに、f(x)は極小かつ最小。

ゆえに、

ところで、

だから、これを①に代入すると

x=a>0を代入すると

（別解終）

【別解】

とおくと、なので、f(x)は下に凸な関数。

また、仮定より

だから、

ここで、とおくと、

（別解終）

【別解２】

f(x)=log xとおくと、f''(x)=−1/x²<0だから、f(x)=log xは上に凸。

よって、

f(x)=log xは（狭義）単調増加なので、

（別解２終）