第３５回 区分求積法

第３５回　区分求積法

関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続であるとすると、f(x)は[a,b]で積分可能である。

すなわち、分割

の全てに関して、の選び方によらず、リーマン和

は、

になる。

したがって、[a,b]をn等分し、

として得られるリーマン和

とすると、

である。これによって定積分の値を求めることを区分求積法という。

例１　[a,b]で定義される定数値関数f(x)=cの積分は

なぜならば、

例２　[a,b]で定義される連続関数f(x)=xの場合、

[a,b]をn等分し、

に取ったとき

念のために、

を取ったとき、

なお、この計算では

という公式を使っている。

問１　区分求積法を用いて、次のことを示せ。

【解】

f(x)=x²とし、[a,b]をn等分に分割し、

とすると、

（解答終）

上の計算では

という公式を使っている。

問２　区分求積法を用いて、の値を求めよ。

【解】

[0,1]をn等分し、

にとる。

とおくと、

（解答終）

x=1/nとおくと、n→∞のときx→0。

したがって、

上の計算では、ロピタルの定理を使っていることに注意。

あるいは、