My Favorite Song:灼眼のシャナ 夜明け生まれ来る少女

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緋色の空　Hishoku no Sora

第４回 数列の極限の定理の続き

第４回　数列の極限の定理の続き

定理５

とする。

ならば、とはともに収束する数列で、

である。

【証明】

だから、は上に有界の増加数列であり、は下に有界の減少数列なので、

が存在する（定理４）。

（証明終了）

定理６　（区間縮小法）

閉区間の列において

ならば、すべての閉区間に含まれる一点αが存在し、

である。

上限・下限、有界な単調数列の収束、区間縮小法の順番で証明したけれど、

有界な単調数列の収束→区間縮小法→上限・下限、

区間縮小法→上限・下限→有界な単調数列の収束

の順に証明することも出来る。

ここで、大学の解析の演習書などに載っている有名な問題（算術幾何平均）をやる。

その前に、下準備として

相加平均 ≧ 相乗平均

を証明する。

a ≧ 0, b ≧ 0 のとき、

だにゃ。

だ・か・ら、

相加平均 ≧ 相乗平均

問題

とする。

を示し、

であることを示せ。

【証明】

さらに

さらに、相乗平均≦相加平均だから

となり、

となる。

で、定理５からとはともに収束する数列となる。

として、

に、を代入すると
　――― nが十分大きいならば、と見なせる―――

となり、

（証明終了）

定理８　（はさみうちの定理）

でならば

である。

【証明】

だから

である。

とすれば、n ≧ m で

となり、

条件より

だから、

となり、n ≧ m で

このことより

（証明終了）

はさみうちの定理は、関数の極限のところでも確か証明したと思うけれど、
数列の極限を求めるときによく使うので、ここでも証明した。