ベクトル解析の番外編 方向余弦

ベクトル解析の番外編　方向余弦

原点を始点とし点Aを終点とするベクトルを考えるケロ。

さらに、とx軸、y軸、z軸とのなす角をα、β、γとする。

で、

を方向余弦と呼ぶ。

ちなみに、分母は線分OAの長さ。

三平方の定理から

となる。

また、

となるので、方向余弦には

という関係がある。

ベクトルの大きさと方向余弦を使って

とあらわすことができる。

問題１　A(1,2,1)のとき、の方向余弦を求めよ。

【解】

よって、方向余弦は

になる。

問題２　点Aの位置ベクトルは、x軸とπ/4、y軸とπ/3、z軸とπ/6の角をなし、大きさは６である。Aの座標を求めよ。

【解】

これで終わるのはさすがに気が引けるにゃ。

ということで、ベクトルの３重積というものを少し話すにゃ。

ベクトルの３重積というのは、たとえば、

a・(b×c)

や

a×(b×c)

というもの。

後ろのa×(b×c)はベクトル３重積と呼ばれる。a×(b×c)は結合法則、つまり、(a×b)×cは成り立たないケロよ。で、これは次のようになる。

　　a×(b×c)=b(a・c)−c(a・b)

これは理屈ではなく、ひたすら機械的に外積の計算をすると、こうなる。

そして、これを知っていると、ハミルトン演算子∇

とあたかもベクトルのようにみなし、a=∇、b=∇とすると

∇×(∇×c)=∇(∇・c)−c(∇・∇)=∇(∇・c)−(∇・∇)c

というベクトルの公式を導けるのであった。

また、a・(b×c)はスカラーになるのでスカラー３重積という。これは

になるという話はした。で、特にこれを[abc]といったふうに書くことがある。これをグラスマンの記号という。

行列式の勉強をすると分かるのだけれど、[abc]=[bca]=[cab]という関係があるのであった。