第３５回 曲線座標の続き２

第３５回　曲線座標の続き２

曲面S上の点rは２変数uとvを用いて

　　r=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

とあらわすことができる。

そして、vを固定しuだけを変化させれば曲面S上で一つの曲線を描き、これをu曲線という。同様にuを固定しvだけを変化させればv曲線が得られる。

また、はそれぞれu曲線の接線ベクトル、v曲線の接線ベクトルである。

u、vをそれぞれu曲線、v曲線の単位接線ベクトルは

　　

となる。そして、この曲面Sの単位法線ベクトルwは

　　

uとvが直交する時は|u×v|は辺の長さが１の正方形の面積で1になるから

　　w=u×v

になる。

u曲線、v曲線に直交し、こうして得られたwと向きが同じ曲線をw曲線とする。
第３３回でやったけれど、u、v、wが直交するとき、線元素は
　　

ただし

　　

となるという話をした。

上の式を見ればわかるけれど、

　　

だから、

　　

また、

　　

はw曲線の接線ベクトルであり

　　

となる。

さらに、ベクトル解析の番外編で述べたグロスマン記号なるものを使うと、

　　

で、[uvw]は辺の長さ１の立方体の体積だから１だにゃ。

つまり、

　　

になるにゃ。

また、３３回で

　　

になるということをやったにゃ。

だから、

　　

で、[uvw]=1だから

　　

そして、さらに

　　

という関係が得られる。

問題　u=h₂h₃∇v×∇w、v=h₃h₁∇w×∇u、w=h₁h₂∇u×∇vであることを示せ。

【解】

　　

同様に、v=h₃h₁∇w×∇u、w=h₁h₂∇u×∇vとなる。

なにか書かないといけないから、書いただけだにゃ。

でも、こちらの方が第３３回のu曲線、v曲線、w曲線の話よりはわかりやすいんじゃないか。３３回で書いたu曲線、v曲線、w曲線の話は何を書いてあるのか、非常に分かりづらいから。