第３６回 直交曲線座標における勾配、発散、回転

第３６回　直交曲線座標における勾配、発散、回転

勾配

u、v、wの関数をφ(u,v,w)とする。このとき、φの発散は次のようになる。

　　

u=u(x,y,z)、v=v(x,y,z)、w=w(x,y,z)であるとすると、合成関数の偏微分の公式より

　　

この結果を①に代入して整理すると、

　　

になる。

また、

　　

という関係があるので、

　　

となる。

発散

A(u,v,w)のu成分、v成分、w成分をそれぞれとすると、

　　

となる。

ゆえに、

　　

また、u=v×w、v=w×u、w=u×vだから、

　　

で、上の式の第１項に注目するのだけれど、ベクトルの微分には次のような公式がある。

　　∇・(φa)=∇φ・a+φ∇・a

また、u=v×w=(h₂∇v)×(h₃∇w)=h₂h₃∇v×∇wだから

　　

で、さらに上の式の右辺第１項は

　　

右辺第２項は

　　

ゆえに

　　

についても同様に

　　

となる。

よって、

　　

となる。

さらにA=∇φのとき

　　

なので、

　　

　　

となる。

回転

　　

だから、

　　

右辺第１項は

　　

∇×(∇u)=0だから

　　

同様に

　　

よって、

　　

ということで、

　　となる。

まとめ

勾配
　　

発散
　　
ラプラシアン

　　

回転
　　
　　

ここで、