第１８回 積分形式のテーラーの定理

第１８回　積分形式のテーラーの定理

関数f(x)は区間Iで級で、a、b∈Iとする。

このとき、

が成立する。

この式の右辺を部分積分すると、

同様に部分積分すると

したがって、

さらに、同様の操作を続けてゆくと、

を導くことができる。

これが、積分形式のテーラーの定理である。

微分形式のテーラーの定理は、

したがって、積分形式と微分形式のテーラーの定理とではラグランジュの剰余項の表現が異なっている。問題は、この２つが同じものかどうかであろう。

積分の第１平均値の定理

関数f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で連続、かつ、g(x)≧0とする。このとき、

が成り立つξが少なくとも１つ存在する。

a<bのとき、［a,b]でだから、積分の第１平均値の定理より

となり、剰余項の表現形式が積分形式と微分形式と異なるもので、同一の定理であることが理解してもらえるのではないだろうか。

定理　（積分形式のテーラーの定理）

f(x)が区間Iで級、a∈I、任意のa∈Iに対し、

である。

特に、fがIで級で、任意のx∈Iでならば、任意のx∈Iで

である。