第１４回 無限大、無限小とランダウ記号

第１４回　無限大、無限小とランダウ記号

§１　関数の無限大、無限小

aを実数または±∞とする。ならば、x→aのときf(x)は無限小であるという。ならばx→aのときf(x)は無限大であるという。

関数f(x)、g(x)が点aで無限小のとき、

という。

例１

f(x)=x²,g(x)=xとすると、x→0のとき

だから、f(x)はg(x)より高位の無限小。

f(x)=sinx、g(x)=xとすると、

だから、f(x)とg(x)と同位の無限小。

f(x)=x、g(x)=x²とすると、

だから、f(x)はg(x)より低位の無限小。

関数f(x)、g(x)が点aで無限大のとき、

という。

例２

f(x)=logx、g(x)=xとすると、

だから、logxはxよりも低位の無限大。

、g(x)=xとすると、

だから、はxよりも高位の無限大。

問　次のことを示せ。

［解答（？）］

ロピタルの定理より

［解答（？）終了］

§２　ランダウの記号

x→aのとき、f(x)/g(x)が無限小、つまり、

のとき、

で表す。この記号o(g(x))をランダウ記号（oをランダウのスモール・オー）という。特に、のとき

と定める。

例３　f(x)=sinxは、x→0ならばf(x)→0だから

また、f(x)=x²、g(x)=xとすると、x→0のとき、

だから、

しかし、f(x)=x、g(x)=x²のとき、

だから、ではない。

つまり、

は、一般に成立しない。

x→aのときに、f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、これを

で表す。（Oをランダウのビッグ・オーという）

特に、

のとき、

である。

例４

x→0のとき、

だから、

また、xが0に限りなく近いとき（ただし、x≠0）

だから、有界。

よって、

である。

ラウンダウ記号にはスモール・オーoとビッグ・オーOの２種類があるのだが、以降、スモール・オーo、つまり、o(g(x))をランダウ記号と呼ぶことにする。