第２２回 数列の極限と関数の極限の融合

第２２回　数列の極限と関数の極限の融合

数列がaに収束するとは、任意のε>0に対して、ある正の整数mが存在し、

である。

関数f(x)がx→aのときbに収束するとは、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して

であることである。

この数列の極限と関数の極限を結びつける次の定理を紹介する。

定理１２

である必要十分な条件は、aに収束する任意の数列に対してとなることである。

【証明】

必要）

だから、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、

である。

また、だから、ある正の整数mがあって

である。

よって、

十分）

を否定すると、

となるxが存在する。

特に、δ=1/n>0にとると、

となるが存在する。

このとき得られたに対しては、であるが、が成り立たない。

したがって、証明された。

（証明終）

この定理から、関数の極限を数列の極限を用いて定義してよいことになる。

同様に、数列の極限を用いて、関数の連続は次のように定義される。

関数f(x)は区間Iで定義された関数、a∈Iとする。aに収束するすべての数列に対してであるとき、関数f(x)はx=aで連続であるという。

最後に、これまで証明しなかった次の定理を証明する。

定理１３

関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続ならば、関数f(x)は[a,b]で最大値、最小値をもつ。

【証明 】

fが[a, b]で上に有界でないとすると、

が成り立つ。

n = 1, 2, 3, ・・・と変化させると、

という有界な数列が得られる。

は有界な数列なので、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より収束する部分列が存在する。そして、その極限をcとすると、となる。

関数f(x) は連続なので、

となるけれど、

よって、f(c) = +∞となり、有限な値を持たない。

c∈[a,b]でf(c) は[a,b]で定義される関数の点である以上、有限の値を持たなければならない。

これは矛盾である。

よって、f(x)は上に有界である。

f(x) は [a, b] で上に有界なのだから、上限が存在する（実数の連続性）。その上限をMとする。

そして、f(x) が[a,b]で最大値を持たないと仮定すると、f(x) < M となり、M – f(x) ≠ 0となる。

だから、

という関数gは[a, b] で連続となる。

また、仮定より、Mはf(x) の上限なのだから、任意の正の数εに対して

となる x ∈ [a,b] が存在する。

εは任意の正の数なので、

とすると、

となる。ここで、n は自然数。

nは自然数なのだから、いくらでも大きくでき、g(x) には上限がないことになる。

g(x) は有界な閉区間[a,b]で定義された連続関数だから上限があるはずなのに、上限がない。

これは矛盾。

何故、矛盾したかというと、f(x) は[a,b] で最大値をもたないと仮定したから。 よって、f(x) は最大値をもつ。

下に有界をもつこと、最小値をもつことも同様。

（証明終）