有限要素法の選点法で、２階常微分方程式の境界値問題を解く

有限要素法の選点法で、２階常微分方程式の境界値問題を解く

問題１　次の微分方程式の解を求めよ。

【解】

この微分方程式の特性方程式は

したがって、この微分方程式の基本解はだから、一般解は

である。

境界条件より

これを解くと、

したがって、

（解答終）

これを差分で解くのは芸がないということで、有限要素法の選点法を用いてこの微分方程式を解くことにする。

それに先立ち、問題の微分方程式を

と置き換え、問題の微分方程式をzの微分方程式に書き換えると、

になる。

こんとき、この微分方程式の境界条件は

となる。

そこで、この境界条件を満たす関数

を近似解と仮定するケロ。

そこで、（２）のzをuに置き換えた

を残差と呼ぶことにする。

もしuが（２）の解であれば、残差は０。しかし、（３）は（２）の解ではないので、R≠0である。

ここで、

となるように重み関数w(x)を調整し、（５）の積分の値が０になるようにする。

そして、（５）を満足する（３）を微分方程式（２）の近似解としようじゃないか。

この重み関数にδ関数

なるナゾの関数を採用し、（５）の積分を行うと

になる。

さてさて、

したがって、

x₀=1/2とすると、（６）より

 

だから、

で、

だから

に違いない。

赤線が厳密解の

青線が

この微分方程式に関する限り、厳密解との差は殆どないという驚きの結果が得られる。

1/3を選点x₀に選ぶと、

したがって、

よって、

この微分方程式の場合、1/2にとったほうが1/3にとったほうが精度がよいことが分かる。

このように微分方程式の解を求める方法を選点法という。

問題２　次の微分方程式を解け。

【解】

同次方程式

の特性方程式は、

したがって、同次方程式の一般解は

特殊解y₀は

したがって、この微分方程式の一般解は

である。

境界条件x=0のときy=0より

x=1のときy=0より

よって、

（解答終）

この微分方程式の場合も同様に

とおくと、

となる。

そこで、x=1/2にとると、

したがって、

粗い近似だから合うほうがおかしいケロよ。そこで、精度をあげる方法を考えることにするにゃ。