2017年11月3日金曜日

テーラー級数、マクローリン級数を使って

テーラー級数、マクローリン級数を使って


まずは、テーラー級数を用いる次の問題を。

問題1
x=1のまわりのテーラー級数に展開せよ。
これを利用して、log1.1を小数3桁まで正確に求めよ。
【解】
したがって、テーラー級数は
または、剰余項を用いて
log1.1を小数点以下3桁まで求めるには剰余項を
にすればよいので
したがって、n=3にとればよい。
よって、
で、誤差は
(解答終)

電卓で自然対数log1.1を求めると
したがって、小数点以下3桁まで正確に求められており、誤差の評価も概ね正しいことがわかる。


問題2 マクローリン展開の最初の4項を用いて次の微分方程式
の近似値を求めよ。
【解】
の両辺を順次xで微分すると、
したがって、
よって、
(解答終)


問題3 次の微分方程式を解け。
【解】
この微分方程式はn=2のベルヌーイ形の微分方程式。
だから、
とおくと、
よって、
(解答終)



グラフを見ると、問題2で求めた近似解は、−0.5≦x≦0.5の範囲で厳密解とよく一致していることがわかる。
なお、


0 件のコメント:

コメントを投稿