2017年11月4日土曜日

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積


曲線が極座標rθを用いて
で表されているとき、この方程式を曲線C極方程式という。

例えば、半径aa>0)で点(a,0)を中心とする円
は、
と、極方程式で表すことができる。

また、デカルト直交座標における動点Pの座標を(x,y)とすると、
であり、
という関係がある。

定理
曲線Cで表されていて、f(θ)が連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=αθ=βで囲まれた部分の面積は
である。
【略証】
(証明終)


問題1 次の曲線(カージオイド)に囲まれている部分の面積を求めよ。
【解】
この曲線はx軸に関して対称なので、上半分の面積S₁を求め、それを2倍すればよい(右図参照)。
したがって、
したがって、この曲線によって囲まれる面積S
(解答終)


問題2 次の曲線(レムニスケート)に囲まれている部分の面積を求めよ。
【解】


この曲線はx軸、y軸に関して対称。だから、第1象限の面積を4倍すればよい。
とおくと、
は、
rが恒等的に0のときは曲線ではなく、原点になるので、
第1象限だけを考えればよいので、このとき、0≦θ≦π/2であり、また、(2)を満たさなければならないので、
よって、
したがって、
(解答終)



問題3 次の曲線(3葉線)に囲まれる部分の面積を求めよ。
【解】


とおくと、
求める面積は、第1象限でこの曲線によって囲まれる部分の面積S₁を3倍したもの。
ところで、0≦θ≦π/2
になるのは、
したがって、
よって、
(解答終)


0 件のコメント:

コメントを投稿