差分法の基礎

差分法の基礎

f(x)を何回でも微分可能な関数とすると、テーラーの定理より、f(x)はx=aの近傍で

と展開することが可能である。

ここで、記号Oはランダウの（ビッグ）Oで

ある。

したがって、n=1,2,3とすると、

が成り立つ。

また、hを−hに置き換え、

を得ることができる。

（３）式より、h≠0のとき、

となり、このことからf'(a)を

と近似したときの誤差はhのオーダー、であると予想できる。

このことは、拡張された平均値の定理

より、h≠0のとき、

となり、f''(x)は

で連続だから

となるMが存在し、

となり、

と近似した誤差が｜h｜のオーダー程度であることが確かめられる。

f(x)がxの１次関数の時、

なので、

が成立すので、（６）は１次の精度である。

さらにa=0とし、hを変化させ、

と近似したときの誤差を求めてみると、右の図のようになる。

横軸にはh、縦軸に誤差をとり、対数グラフで結果を表している。

この直選の傾きが1であることから、（６）の近似式の誤差がhの１次オーダーであることが確かめられる。

このことを、

と表すことにする。また、f'(a)のこの近似式を前進差分と呼ぶことにする。

また、f'(a)を求めるために、（３）と（３’）の辺々を引くと、

が得られる。

（８）式で与えられるf'(a)の近似式を中心差分と呼び、この近似式の誤差はhの２次のオーダーであることと予想できる。

さらにa=0とし、hを変化させ、

と近似したときの誤差を求めると右図のようになる。このときの直線（緑色の直線）の勾配は２であり、この近似式の誤差はhの２次オーダーであることがわかる。

f(x)がxの２次関数であるとき、

となるので、

が成立する。したがって、この近似式は２次の精度を持っている。

要するに、という記号は、n次の精度で、誤差の程度はのオーダーであり、hを1/10にすると、誤差はになるということを表していると考えることができる。

の近似式を求めるために、（５）と（５’）の辺々を加えると、

したがって、

という近似式は、２次の精度をもっており、誤差はh²程度ということになる。

この直線の傾きは２であり、誤差がhの２次のオーダーであることが確かめられる。