ホイン（Heun）法

ホイン（Heun）法

§１　オイラー法

微分方程式

の解は

である。

（２）式の右辺の積分を

で近似すると、（２）式は

と近似することにより、x₀を計算の起点とし、x₁、x₂、・・・と築時的に計算をすることができる。

とあらわすことにすると、

になる。

とくに、点が等間隔hに並んでいるとき、

である。

この方法をオイラー法という。

問題　オイラー法を用いて、次の微分方程式のx=0.1、0.2、0.3におけるyの値を求めよ。

【解】

x₀=0、y₀=y(x₀)=1、h=0.1とおくと、

x₁=0.1、y₁=1.05だから

x₂=0.2、y₂=1.163だから

したがって、

x=0.1のとき、y=1.05

x=0.2のとき、y=1.1106

x=0.3のとき、y=1.1846

（解答終）

表計算ソフトを用いた計算結果を以下に示す。

オイラー法だと、計算を進めると、誤差が蓄積して、その結果、厳密解

との食い違いが大きくなっていくことが理解できると思う。

§２　ホイン法

まず、オイラー法

を用いてを計算し、次に台形公式

と修正する。

以下同様に、所定の精度が得られるまで

と反復計算をする方法をホイン法という。

ホイン法を用いて、問題の微分方程式をh=0.1と同一の条件で解いた結果は次の通り。