第８回 １次変換と図形２

第８回　１次変換と図形２

問題１　１次変換

は、平面上では相似変換であることを示せ。またこのこと利用して、放物線y=ax²（a¬0)はy=x²と相似であることを示せ。

【解】

P(x,y)の像をP(x',y')とすると、

したがって、この変換はOを中心としたa倍に拡大縮小する変換であり、相似変換である。

また、P(x,y)をy=ax²上の点とすると、

だから、

したがって、P(x',y')はy=x²上に存在する。

よって、放物線y=ax²はy=xと相似である。

（解答終）

問題２　平面上に点P(1,2)とQ(3,4)がある。１次変換fによってPがQに、QがPに写される。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　１次変換fを表す行列を求めよ。

（２）　fにより原点からの距離が変わらない点の軌跡を求めよ。

（３）　fにより直線PQ上の点は直線PQ上に写されることを示せ。

【解】

（１）　１次変換fを表す行列をAとする。

fにより(1,2)は(3,4)に、(3,4)は(1,2)に写されるので、

（２）　P(x,y)、fによるPの像をP'(x',y')とすると、

OP=OP'だからOP²=OP’²。

したがって、

よって、

（３）　P(1,2)、Q(3,4)を通る直線の方程式は

この直線上の点(t,t+1)（tは実数）のfによる像は

よって、fによりP、Qを通る直線y=x+1上の点は直線y=x+1上に写される。

（解答終了）

１次変換fを表す行列だから、｜A｜=(−5)・5−4・(−6)=−1¬0となり、Aは正則行列。したがって、直線l₁は直線l₂に写される。

l₁は点P、Qを通る直線であり、l₂は、P、Qの像であるQとPを通る直線なのだから、l₁とl₂は一致する。

Q(3,4)とP(1,2)を通る直線l₂の方程式は

で、l₁:y=x+1と一致する。

なお、この１次変換により自分自身に写される直線の方程式は、

k=0とおけば（２）で求めた直線になり、k=1とすれば（３）の直線PQになる。

これは偶然、それとも、何か関係がある(^^)

問題３　方程式x²−y²=a²（a>0）で表される曲線を、原点のまわりに45°回転して得られる曲線の方程式を求めよ。

【解】

曲線x²−y²=a²上の点P(x,y)を原点まわりに45°回転した点をP'(x',y')とすれば、

したがって、P’を原点まわりに−45°回転させればPになる。

これをx²−y²=a²に代入すると、

したがって、求める曲線の方程式は

 

（解答終）

このことから、x²−y²=a²は双曲線xy=a²/2を原点まわりに−４５°回転させた双曲線であることが分かる。

問題４　行列が表す１次変換

によって円x²+y²=1がx²+y²=r²に写されるとする。このとき、

であることを示せ。

【解】

円x²+y²=r²上の点(x’,y’)とすると、

これが、x²+y²=1²と一致するためには、

でなければならない。

また、

のとき、

したがって、①とx²+r²=1は一致する。

（解答終）

が成り立つとき、が表す１次変換は相似変換である。

特に、r=1のとき、が表す１次変換は合同変換になる。

問題１のや原点まわりの回転はこの特殊なケースなのであった。