第２回 差集合

第２回　差集合

§１　集合の差

A、Bを集合とする。

x∈Aであるがx∈Bでないではないx全体からなる集合、すなわち、

をAとBとの差集合または差といい、記号

または

などであらわす。

差集合の定義から明らかであるが、

【略証】

x∈A−Bとすると、x∈Aかつx∉Bなので、x∈Aである。

故に、

（略証終）

例１　Aを自然数全体の集合、Bを偶数全体の集合とすれば、A−Bは奇数全体の集合

例２

§２　空集合

A={1, 2, 3}、B=｛1, 2, 3, 4, 5｝とする。

このとき、

であるが、AとAの差集合A−A、AとBの差集合は、要素をなにも持たない集合となる。

このように、要素を何ももたない集合を空集合といい、記号

∅または｛｝

であらわす。

さらに、いかなる集合Aに対して

と定義する。

また、

と定義する。

Aを任意の集合とするとき、次の式が成立することは明らかであろう。

問１　A⊂Bならば、A−C⊂B−Cであることを示せ。

【解】

A−C=空集合ならば、A−C⊂B−Cは明らか。

そこで、A−C≠∅とする。x∈A−Cだから、x∈Aかつx∉C。

A⊂Bだから、x∈Bかつx∉C。したがって、x∈B−C。

ゆえに、

A⊂Bならば、A−C⊂B−C

（解答終）

問２　A−B=∅であるための必要十分な条件はA⊂Bであることを示せ。

【解】

AやBが∅のときは明らか。

A≠∅、B≠∅とする。

A−B=∅は、x∈Aかつx∉Bなるxがないことで、x∈Aならばx∈Bであることに他ならない。

したがって、

（解答終）

問３　空集合∅は１つであることを示せ。

【解】

∅₁、∅₂は空集合とする。すると、

よって、空集合は１つである。

（解答終）

§３　補集合

BがAの部分集合である場合、AとBとの差を、BのAに関する補集合（Complementary Set）という。

Aが空集合でない場合、Aの要素は、Bに属するか、A−Bに属するかのいずれか一方だけが成立する。

すなわち、次の関係が成り立つ。

　（１）　x∈Aならば、x∈Bまたはx∈A−B

　（２）　x∈Bならばx∉A−B

　（３）　x∈A−Bならばx∉B

また、

Aに関するAの補集合は空集合∅であり、Aに関する空集合∅の補集合はAである。

定理３　A⊃BならばA−(A−B)=Bである。

【証明】

A−B=Cとする。

まず、A−C⊂Bであることを示す。

A−C=∅であるならば、A−C⊂B。

A−C≠∅のとき、

x∈A−Cとすると、x∈Aかつx∉C、すなわち、x∈Aかつx∉A−B。よって、x∈B。

ゆえに、

　　A−C=A−(A−B）⊂B

つぎに、B⊂A−Cであることを示す。

B=∅ならばB⊂A−C。

B≠∅のとき、

x∈Bとすると、x∈Aかつx∉A−B、すなわち、x∈Aかつx∉C。ゆえに、x∈A−C。

したがって、

　　B⊂A−C=A−(A−B)

よって、

A⊃BならばA−(A−B)=B

（証明終）

定理３の逆、

A−(A−B)=BならばA⊃B

が成立するので、

A−(A−B)=BはA⊃Bの必要十分な条件である。

対象となる集合が、固定された集合Xの部分集合であるとき、Xを普遍集合（Universal Set）という。A⊂Xのとき、集合AのXに関する補集合を単に補集合といい、記号

であらわす。

すなわち、

普遍集合Xと空集合∅の補集合は、

となることより、

問題４　定理３の逆

　　A−(A−B)=BならばA⊃B

を証明せよ。