第１3回 ２階線形非同次微分方程式の解法

第１3回　２階線形非同次微分方程式の解法

２階線形非同次常微分方程式

に関して次のことが成り立つ。

同次線形微分方程式

の基本解をy₁,y₂、ロンスキアンWを

とすれば、

は（１）の１つの特殊解である。

問題１　同次方程式（２）の一般解の任意定数C₁、C₂をそれぞれ未知関数u₁、u₂で置き換えた

が非同次方程式（１）の解となるようにu₁、u₂を定めることにより（３）で定めた特殊解を導け。

【解】

だから、

そこで、

となるようにu₁、u₂を定める。

の両辺をxで微分すると、

よって、

となり、φは非同次方程式

の解である。

①の連立方程式をについて解くと、

したがって、

よって、

（解答終）

問題２　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）　同次方程式y' –y'–2y=0の基本解はなので、この一般解は

そこで、とおき、

（３）式を用いて、非同次方程式

の特殊解を求めると、

よって、①の一般解は

（２）　（１）の結果を利用すると、y''–y'–2=cosxの特殊解は

よって、一般解は

（3）　同次方程式の基本解は、

より、であり、この一般解は

である。

式（３）より、非同次方程式

の特殊解は

したがって、非同次方程式①の一般解は

（解答終）

問題２の（２）の特殊解は

と予想できるので、

を①に代入し、

と、特殊解を求めたほうが簡単。