第１６回 積分因子

第１６回　積分因子

次の全微分方程式があるとする。

この全微分方程式は、

とおくと、

だから完全形ではない。

しかし、（１）式の両辺にxyをかけると

となり、P=x、Q=yとおくと、

が成立し、完全形の微分方程式にすることができる。

ちなみに、（２）式の解は

定義

完全形でない全微分方程式

に適当な関数λ(x,y)≠0をかけて得られる

が完全形であるとき、λ(x,y)をPdx+Qdy=0の積分因子または積分因数という。

先にあげた例だとxyは微分方程式（１）の積分因子である。

（３）式は完全形だから、

でなければならない。

そして、（４）式を解くことによって積分因子を求めることができる。

しかし、一般に偏微分方程式（４）を解くことは難しい。そこで、特別な場合を考えることにする。

λがxだけの関数の場合、

だから、（４）式は

となり、がxだけの関数であれば、積分因子は

と求まる。

同様に、がyだけの関数であれば、積分因子は

として求まる。

問題１　次の全微分方程式の積分因子を見つけ、一般解を求めよ。

【解】

（１）　P=2xy、Q=y²–x² とすると、

したがって、積分因子は

微分方程式

の両辺に1/y²を掛けると、

（２）　P=x+y、Q=−xとおくと、

したがって、積分因子は

微分方程式

の両辺に1/x²を掛けると

（解答終）

問題２　線形微分方程式

を変形して得られる

の積分因子を求めよ。

【解】

とおくと、

したがって、積分因子は

（解答終）