第１２回 オイラー形の微分方程式

第１２回　オイラー形の微分方程式

オイラー形の微分方程式の一般形は

である。

とおくと、

同様に

となるので、（１）は定数係数のn階線形常微分方程式に変換することができる。

問題１

は、と置換することにより、y、tの定数係数線形微分方程式になることを示し、これにより次の微分方程式を解け。

【解】

とし、両辺をtで微分すると、

よって、

したがって、

これを①に代入すると、

（１）　a=1、b=1、R(x)=logxの場合だから、

同次方程式

の一般解は

y=tは③の特殊解だから、③の一般解は

（２）　a=−1、b=1、R(x)=x²の場合だから、

同次方程式

の特性方程式

の解は、λ=1で重根。

したがって、同次形の一般解は

は④の特殊解だから、④の一般解は

（解答終）

問題２　次の微分方程式の一般解を求めよ。

【解】

（１）　x>0のとき、とおくと、

だから、微分方程式は

同次形方程式

の特性方程式

だから、同次方程式の一般解は

①の特殊解y₀は

x<0のときも同様の関数になる。

（２）　x>0のとき、とおくと、

したがって、微分方程式は

同次方程式

の特性方程式は

したがって、同次方程式の一般解は

①の特殊解は

x<0のときも同様。

よって、

（解答終）