第１5回 階数を下げる方法

第15回　階数を下げる方法

例題１　次の微分方程式を解け。

【解】

y'=pとすると、この微分方程式は

したがって、

（解答終）

問題１　次の微分方程式を解け。

ただし、aは定数。

【答】

例題２　次の微分方程式を解け。

【解】

p=y'とおくと、微分方程式は

となる。

となるので、①は

両辺を２乗して、整理すると

（解答終）

例題３　次の微分方程式を解け。

【解】

この微分方程式は、y'=pとおき、

となるので、例題２と同様に

とすると、

（解答終）

例題３は、【解１】のように簡単に解けてしまうのだけれど、

とおくと、

が成立するので、F(y,y',y'')は（２次の）同次形であり、微分方程式

は同次形の微分方程式である。

このことに注目して、次のように解くことも可能である。

【別解】

とおくと、

両辺をxで微分すると、

したがって、①は

y≠0のとき

y=0は、C₂=0の場合なので、

【解答終】

問題２　次の微分方程式を解け。

【解】

これは同次形の微分方程式。

そこで、

とおくと、

①に代入すると、

y≠0のとき

y=0は、C₂=0の場合なので、

（解答終）