第１７回 積分因子２

第１７回　積分因子２

問題１　微分方程式

について、次の問に答えよ。

（１）　のとき、は積分因子。ただし、t=x+y。

（２）　のとき、は積分因子。ただし、t=xy。

（３）　のとき、は積分因子。ただし、t=x²+y²。

【解】

λを微分方程式

の積分因子とすると、

は完全形。

したがって、

でなければならない。

（１）　積分因子λがt=x+yだけの関数

とすると、

①に代入すると、

C=1とすれば、

が得られる。

（２）　積分因子λがt=xyだけの関数

とすると、

①に代入すると、

C=1とすれば、

（３）　積分因子λがt=x²+y²だけの関数

であるとすると、

これを①に代入すると、

C=1とすれば、

を得る。

（解答終）

問題２　次の微分方程式の積分因子を求め、それによって一般解を求めよ。ただし、カッコの中の式を変数とする積分因子を用いよ。

【解】

（１）　P=xy³、Q=x²y²–1とすると、

よって、積分因子λは

微分方程式

の両辺にを掛けると、

これは完全形だから

となるzが存在する。

yを固定して、①をxで積分すると、

これを②式に代入すると、

φ(0)=0すると、φ(y)=0。

したがって、

よって、

（２）　P=y、Q=−(x²+y²–x)とおくと、

したがって、積分因子は

微分方程式

の両辺に積分因子

を掛けると、

（解答終）

問題３　次の微分法と定式の積分因子を示し、積分により解けることを示せ。

【解】

（１）　y'は積分因子の１つ。

両辺に2y'をかけると、

よって、

したがって、

よって、一般解は

【別解】

u=y'とおくと、

したがって、

よって、

（別解終）

（２）　が席分因子の１つ。

微分方程式の両辺にをかけると、

となるから、

ゆえに、

したがって、一般解は

である。