微分方程式の解法のまとめ１

微分方程式の解法のまとめ１

§１　１階常微分方程式の解き方（基本）

１−１　変数分離形

例

１−２　同次形

y=uxとおくと

例

y=uxとおくと

と、同次形を変数分離形に変換することができ、

を積分することにより、

を得る。

１−３　１階線形微分方程式

右辺Q(x)=0とおくと、同次方程式の一般解をえる。C=0としたときの特殊解をy₀とすると、非同次方程式の一般解はy=y₁+y₀である。

例

P(x)=x、Q(x)=xとおくと、（１）より一般解は

【別解】

y₀=1はy'+xy=xの特殊解。また、同次方程式y'+xy=0の一般解はだから、非同次方程式y'+xy=xの一般解は

（別解終）

§２　ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式の解き方

２−１　ベルヌーイ形の微分方程式

ただし、n=0のときは線形、n=1のときは変数分離形なので、n=0とn=1の場合は除く。

微分方程式の両辺をで割ると、

ここで、とおくと、

となるので、これらから次の線形微分方程式が得られる。

例

これはn=−2の場合のベルヌーイ形の微分方程式。

したがって、両辺にy²をかけて

とおくととなるから、

として１−３の公式（１）を用いると、

よって、一般解は

２−３　リッカチ形

これは一般的に解くことはできないが、１つの特殊解y₁が分かっているとき、次のように解くことができる。

だから、上の式からこれを引くと

ここで、とおくと

と、ベルヌーイ形の微分方程式に変形することができる。

例

y=1はこの微分方程式の特殊解だから、u=y−1とおくと、

と、ベルヌーイが形の微分方程式になる。

これはn=1の場合だから、両辺をu²で割り、さらに

とおくと、

よって、１−３の（１）より

§３　クレーロー形

両辺をxで微分すると、

p'=0よりp=c。

よって、

また、のとき、

例

両辺をxで微分すると、

よって、一般解は

x=1/p²のとき

両辺を２乗して

よって、特異解は