第１４回 ２階線形非同次微分方程式の解法２

第１４回　２階線形非同次微分方程式の解法２

問題１　線形微分方程式

は、その同次方程式

の解y₀を知れば、

と置換することにより、v=u'のについての１階線形微分方程式に帰着されることを示し、これにより次の微分方程式を解け。

【解】

を①に代入すると、

（１）

これは、

の場合だから、

よって、

（２）

これは、

の場合だから、

両辺にxを掛けると、

（解答終）

問題１の（１）、（２）ともにオイラー形の微分方程式なので、またはと変換して解くことができる。

この変換によって、

と解くことができる。

問題２　微分方程式

において、

とおくと、u(x)は

を満たすことを示せ。これを２階線形微分方程式の標準化という。

【解】

だから、y=uvを微分方程式に代入すると、

（解答終）

問題３　次の微分方程式を標準形に直して解け。

【解】

（１）

そこで、y=uvとおくとuの微分方程式は

よって、

（２）

よって、

したがって、

よって、

（解答終）