第８回 線形微分方程式とロンスキアン

第８回　線形微分方程式とロンスキアン

未知関数y(x)のn階線形常微分方程式の一般形は

である。

Q(x)=0のとき同次、Q(x)≠0のとき非同次という。

左辺のL[y]は関数から関数への写像なので、実数から関数への写像へと区別するために、[]を用いる。また、y(x)に対する微分演算を含むので微分演算子または微分作用素といい、線形演算子である。

定義

次の２つの性質を満たす演算子を線形演算子という。

（１）式の１つの解をy₀とすると、u=y–y₀は

であるから、uは同次微分方程式

の解である。

これを（１）の補助微分方程式といい、その一般解を余関数という。

また、このことから、（１）の一般解は、（１）の１つの解と余関数の和で表されることになる。

定義

n–1回微分可能なn個の関数

に対して、次の行列式をロンスキー（Wronski）の行列式、または、ロンスキアン（Wronskian）といい、

であらわす。

例

とすると、

問１　次の関数のロンスキアンを求めよ。

【解】

（解答終）

定理１　を、u₀を含む区間における微分方程式の解（２）とするとき、それらのロンスキアンは次式で与えられる。

一般の場合の証明は難しいので、線形代数（行列式の計算法）の知識を必要しないn=2の場合について証明することにする。

【証明】（n=2の場合）

u₁、u₂を２階線形常微分方程式

の解とする。

ロンスキアンW

をxで微分すると、

になる。

u₁、u₂を２階線形常微分方程式（3）の解だから

これを①に代入すると、

よって、②の一般解は

したがって、

（解答終）

ロンスキアンWはxの関数になるので、これをW(x)と書くことにすると、この定理１から、区間I内の１点x₀におけるロンスキアンW(x₀)≠0ならば、Iで常にW(x)≠0であることになる。

定義

区間で、n個の関数について、全部が0でない定数によって

になるとき、１次従属であるといい、そうでないとき１次独立であるという。

定理２　n–1回微分可能な関数に対して、

ならば、このn個の関数は１次独立である。

n個の関数が１次従属ならばW=0である。

n=2の場合について証明する。

【証明】

対偶法を用いて証明する。

u₁、u₂は１次従属とすると、同時に0でないc₁、c₂によって

となる。

両辺をxで微分すると、

すくなくともc₁、c₂の一方は0でないので、c₁≠0とする。

より、

よって、証明された。

（証明終）

定理３’　n階同次線形常微分方程式（２）のn個の解に対して、xの区間で

ならば、このn個の解は１次従属である。

したがって、n個の解が１次独立のとき、そのロンスキアンは０でない。

定義　n階同次線形常微分方程式（２）のn個の１次独立の解の１組を、その基本解または基本系という。

例　は、２階同次線形常微分方程式

の基本解である。

は、２階同次線形常微分方程式

の基本解である。

定理４　n階同次線形微分方程式の一般解u(x)は、基本解の任意の１次従属で表される。すなわち、

である。

定理４により、（３）の一般解yは

であり、（４）の一般解は

であることが保証される。