第３回　像と逆像

像の定義
f:X→Yを写像、AをXの部分集合（A⊂X）とする。このときYの部分集合
f(A) = {f(a)∈Y|a∈A} = {y∈Y| y=f(a)をみたすa∈Aが存在する}

をfによるAの像という。
例１f:R→Rで

とし、A=[−1,1]⊂Rとする。この時、

になる。

逆像
f:X→Yを写像、BをYの部分集合（B⊂Y）とする。このとき、Xの部分集合
をfによるBの逆像という。
これは逆写像と違うので注意が必要。逆写像は全単射（１対１対応）のときに定義されるけれど、逆像は全単射である必要はない。

例１の場合でB=[0,1]とすると、この逆像

になる。
このグラフを見れば、ほとんど明らかだけれど、

となるので、fによる[0,1]の逆像は[−1,1]となる。

また、B=[−1,0)とすれば、

となる。

を満たすxが存在しないから空集合∅になる。

問題f:R→Rで

という写像を考える。
で、さらに、とする。

この時、

は成り立つか？
【解】

一般に①は成り立たない。

①ではなく
となる。

この証明は、次回、行なうことにする。

第２回　単射・全射の定理と逆写像

前回、単射と全射をやった。

f:X→YというXからYへの写像fがあるとき、

単射は

「x、x'∈Xでx≠x'ならばつねにf(x)≠f(x')である」

または

「x、x'∈Xでf(x)=f(x')ならばx=x'である」
だ。

対して全射は、

「任意のy∈Yならばy=f(x)となるx∈Xが存在する」

このことを前置きして、本題。

§１　単射と全射の定理

定理１
X、Y、Zを空でない集合、f:X→Y、ｇ:Y→Zを写像とする。この時、次のことが成り立つ。

１　g○ｆが単射ならば、ｆは単射である。

２　g○fが全射ならば、gは全射である。

　　

【証明】
１　f(x)=f(x')と仮定すると、

　　

となる。

で、g○fは単射なので、x=x'となり、

　　

よって、ｆは単射である。
２　仮定より、g○fは単射なので、任意のz∈Zに対してz=g○f(x) = g(f(x)) となるx∈Xが存在する。
で、y=f(x)∈Yとすると、

　　

となり、gは全射である。
（証明終わり）

§２　逆写像

定理２

f:X→Yを全単射とする。このとき、次のことが成り立つ。

１　任意のy∈Yに対し、y=f(x)となるx∈Xがただひとつ存在する。
２　任意のy∈Yに対し、y=f(x)となるx∈Xを対応させることで、Y→Xなる写像が定まる。すなわち、

 　　

全単射は全射でかつ単射の写像のことで、１対１の対応といわれるもの。

（大学の）数学では、１対１の対応ではなく、全単射という言葉を使う。

fを全単射とすると、
全単射は、全射なのだから任意のy∈Yに対してy=f(x)となるx∈Xが存在する。

y=f(x)、y=f(x')とすると、fは単射なのだから、f(x)=f(x')からx=x'となる。

逆写像の定義から、

　　

となる。

このことから、

　　

としたいところだけれど、これはうるさいことを言うと駄目。

とは定義域と終域が違うので、同じ写像と考えてはいけない。

は定義域、値域ともにX、対してはYなので、写像では違うものと考える。

この違いを明らかにするために、

　　

と書いたりもする。

これはどちらも自分自身に戻ってくるので、恒等写像になっている。

　　

とすると、

　　

になっているから。

問題　X={1, 2, 3},Y={1,2}としてf:X→Yという写像がある。

（１）　写像の個数はいくつあるか。

（２）　全射の個数はいくつあるか

（３）　単射の個数は？
【解】
（１）Xの要素1、2、３ともにYの要素１、２の選び方が２通りあるので、答えは

（２）Xの要素がすべてYの要素である１の２のどちらかに対応している場合を（１）から除けばいいから、8–2=6（３）Xの要素の数がYの要素の数より少ないので、単射は存在しない。
では、Xの要素の数がｍ、Yの個数がｎのとき、どうなる？

第１回 写像

第１回　写像

§１　写像の定義

X、Yを空集合でないとする。Xの各元x∈Xに対してYに対してただひとつ対応させる規則XからYへの写像（map）という。対応規則ｆがXからYへの写像であるとき

と表す。

さらに、

というXからYへの写像ｆ、ｇがあって、

任意のx∈Xに対してf(x)=g(x)が成り立つとき、f=gと書く。

例１

であるとしても、関数fとgの定義域が異なるので、f≠gである。

例２　f:X→Xで任意のx∈Xに対してf(x)=xが成り立つとき、恒等写像という。

例３　SをXの部分集合とする。f:S→Xで、任意のs∈Sに対してf(s)=sが成り立つとき、包含写像という。

§２　合成写像

X、Y、Zを空でない集合、f:X→Y、g:Y→Zを写像とする。

この時、任意のx∈Xに対してg(f(x))∈Zに対応させる写像を合成写像（composite map）といい、g○fで表す。すなわち、

例４　f、ｇを実数Rから実数Rへの写像、

のとき、

となる。

になるので、f○g≠g○ｆ。

つまり、合成写像において、交換則は一般に成立しない。

§３　単射と全射

単射の定義
f:X→Yで、任意のx、x'∈Xに対して、x≠x'ならばf(x)≠f(x')のとき、fは単射であるという。

これは、

任意のx、x'∈Xに対して、f(x)=f(x')ならばx=x'である

と同じことを意味する。

例５　f:R→R

は単射ではない。何故ならば、f(−1)=f(1)=1だから。単射だとすると、1=−1 になってしまう。

しかし、定義域を実数Rではなく、0≦xとすれば、

は単射である。

全射の定義
f:X→Yで、任意のy∈Yに対してy=f(x)を満たすxがx∈Xであるとき、ｆを全射という。

例５のfとｇは全射ではない。−1∈Rだけれど、

に対応するxは実数Rに存在しないから。

例６　f:R→R

は全射。そして、これは単射でもある。