第３回　像と逆像

像の定義
f:X→Yを写像、AをXの部分集合（A⊂X）とする。このときYの部分集合
f(A) = {f(a)∈Y|a∈A} = {y∈Y| y=f(a)をみたすa∈Aが存在する}

をfによるAの像という。
例１f:R→Rで

とし、A=[−1,1]⊂Rとする。この時、

になる。

逆像
f:X→Yを写像、BをYの部分集合（B⊂Y）とする。このとき、Xの部分集合
をfによるBの逆像という。
これは逆写像と違うので注意が必要。逆写像は全単射（１対１対応）のときに定義されるけれど、逆像は全単射である必要はない。

例１の場合でB=[0,1]とすると、この逆像

になる。
このグラフを見れば、ほとんど明らかだけれど、

となるので、fによる[0,1]の逆像は[−1,1]となる。

また、B=[−1,0)とすれば、

となる。

を満たすxが存在しないから空集合∅になる。

問題f:R→Rで

という写像を考える。
で、さらに、とする。

この時、

は成り立つか？
【解】

一般に①は成り立たない。

①ではなく
となる。

この証明は、次回、行なうことにする。