第６回　距離の公理

距離とは何か？

その数学の答えの一つが距離の公理。

距離の公理
集合X上で定義された実数値関数

 　　

が、任意のx,y,z∈Xに対して次の条件を満たしているとき、写像dをXの上の距離関数という。

　　

この（１）〜（４）を距離の公理という。

（１）は（２）、（３）、（４）から導けるので、いらないといえばいらないのだけれど、この４つを距離の公理という。

　　

となり、（２）、（３）、（４）から（１）を導くことができる。

だから、（２）〜（４）を距離の公理とする場合もある。
（２）は同一律、（３）は対称律、（４）は三角不等式を表している。

ちなみに、このxやy、zは実数である必要はない。
もっと一般的なもので、n次元の空間の点としてもいいし、イヌやネコ、ウサギでもいい。

「おい、⑨ネコ。イヌ、ネコ、ウサギで距離が定義できるのか？」

「出来る！！」
集合X={dog,cat,rabbit}とすると、この直積X×Xは

X×X={<dog、dog>,<dog,cat>,<dog,rabbit>,<cat,dog>,<cat,cat>,<cat,rabbit>,

<rabbit,dog>,<rabbit,cat>,<rabbit,rabbit>}

になる。

<x,y>∈X×Xに対して

　　

とすれば、これは距離の公理を満足している。

ちなみに、xとyは、それぞれ、イヌ、ネコ、ウサギ。

こういう距離を離散距離という。

少し前に二次元平面の二点間の距離というものをやった。平面上の点をP(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)とするとき、この距離は、
　　

である。
しかし、これはユークリッド距離というもので、あくまで数学の数ある距離の一つにすぎず、２次元平面乗の２点間の距離を、たとえば

　　

で定義してもいい。

そして、これも距離の公理を満たしている。

ちなみに、<x,y>というのは順序対といわれるもの。

<a,b>=<c,d>が成立するのは、「a=cかつb=d」のとき。

だから、一般に、<x,y>≠<y,x>。

本によっては(x,y)と書いていたりもしているけれど、これだとxy平面上の点の座標と混同し、混乱する場合がある。

この他にも、例えば、有界閉区間[a,b]で連続な関数f、gに対して、

　　

関数fとgの距離と定義することができる。

これが距離の公理を満たすことは、

　　

また

　　

さらに、

　　

となるので、

　　

となって、

距離の公理を満たしていることがわかる。

一様収束のところで出てきた有界閉区間で連続な関数のノルム

　　

も距離になっている。