第１回 写像

第１回　写像

§１　写像の定義

X、Yを空集合でないとする。Xの各元x∈Xに対してYに対してただひとつ対応させる規則XからYへの写像（map）という。対応規則ｆがXからYへの写像であるとき

と表す。

さらに、

というXからYへの写像ｆ、ｇがあって、

任意のx∈Xに対してf(x)=g(x)が成り立つとき、f=gと書く。

例１

であるとしても、関数fとgの定義域が異なるので、f≠gである。

例２　f:X→Xで任意のx∈Xに対してf(x)=xが成り立つとき、恒等写像という。

例３　SをXの部分集合とする。f:S→Xで、任意のs∈Sに対してf(s)=sが成り立つとき、包含写像という。

§２　合成写像

X、Y、Zを空でない集合、f:X→Y、g:Y→Zを写像とする。

この時、任意のx∈Xに対してg(f(x))∈Zに対応させる写像を合成写像（composite map）といい、g○fで表す。すなわち、

例４　f、ｇを実数Rから実数Rへの写像、

のとき、

となる。

になるので、f○g≠g○ｆ。

つまり、合成写像において、交換則は一般に成立しない。

§３　単射と全射

単射の定義
f:X→Yで、任意のx、x'∈Xに対して、x≠x'ならばf(x)≠f(x')のとき、fは単射であるという。

これは、

任意のx、x'∈Xに対して、f(x)=f(x')ならばx=x'である

と同じことを意味する。

例５　f:R→R

は単射ではない。何故ならば、f(−1)=f(1)=1だから。単射だとすると、1=−1 になってしまう。

しかし、定義域を実数Rではなく、0≦xとすれば、

は単射である。

全射の定義
f:X→Yで、任意のy∈Yに対してy=f(x)を満たすxがx∈Xであるとき、ｆを全射という。

例５のfとｇは全射ではない。−1∈Rだけれど、

に対応するxは実数Rに存在しないから。

例６　f:R→R

は全射。そして、これは単射でもある。