2016年9月26日月曜日

第13回 ド・モルガンの法則






第13回 ド・モルガンの法則


論理のド・モルガンの法則
この証明は、
真偽表を書けばいい。

(1)は右の表のようになる。
¬(p∧q)¬p∨¬qの真偽表は一致する。よって、
となる。
(2)下の表のようになり、真偽表が一致するし、
となる。

¬
は命題の否定をあらわし、∧は「かつ」で命題の連言、∨は「または」で命題の選言を表す記号だ。
そして、Tは英語の「True」の略で「真」を意味し、Fは英語の「False」の略で「偽」を表す。
で、この論理のド・モルガンの法則を使うと、集合のド・モルガンの法則が簡単に証明できる。
集合Aの補集合は
のこと。
だから、
 
そして、
よって、
となる。
前回、ABが開集合ならば、その共通部分A∩Bと和集合A∪Bも開集合となるというのをやった。
そして、閉集合は開集合の補集合だというのも前にやった。
だから、ABが開集合ならば、その共通部分A∩Bと和集合A∪Bも開集合なので、
は閉集合になり、ド・モルガンの法則から
となり、閉集合の共通部分、和集合も閉集合となる。
さらに一般的に書くと、
となり、
前回やった定理とこの結果を用いると、

定理
(1) 空集合∅、実数Rは閉集合である。
(2) 任意の有限個の閉集合の和集合は閉集合である。
(3) 任意の閉集合の共通部分は閉集合である。

となる。

この定理は、開集合の方から導いたんだけれど、この定理と閉集合をもとにして導くこともできる。
 
の右辺から左辺の流れにするだけなので。

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